Cho hình chóp S.ABC. Tam giác ABC vuông tại B, BC = \(\sqrt {66} \), AC = \(2\sqrt {66} \), tam giác SAB đều. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AC. Tính khoảng cách giữa SA và BC.
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Khoảng cách lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 12
Dựng hình bình hành ABCD ta có:
BC ∥ AD ⇒ BC ∥ (SAD) ⇒ d(BC, SA) = d(BC, (SAD)) = 2d(M, (SAD))
Gọi N là trung điểm của AD.
Dựng MH ⊥ SN (H ∈ SN)
Do \(\widehat {ABC} = 90^\circ \)⇒ ABCD là hình chữ nhật ⇒ MN ⊥ AD
Lại có: SM ⊥ AD (do SM ⊥ (ABC)) nên AD ⊥ (SMN) ⇒ AD ⊥ MH.
Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AD \bot MH}\\{SN \bot MH}\end{array}} \right.\) ⇒ MH ⊥ (SAD).
⇒ d(M, (SAD)) = MH.
Tam giác ABC vuông tại B, BC = \(\sqrt {66} \), AC = \(2\sqrt {66} \) ⇒ \(AB = 3\sqrt {22} = SA\) (vì tam giác SAB đều)
Tam giác SAM vuông tại M có: \(SA = 3\sqrt {22} ,\,MN = \frac{1}{2}AB = \frac{{3\sqrt {22} }}{2}\)
Xét tam giác ABC vuông tại B, có:
\(AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt {66} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {66} } \right)}^2}} = 3\sqrt {22} \)
Vì tam giác SAB là tam giác đều nên SA = AB = \(3\sqrt {22} \)
Ta có: \(AM = \frac{{AC}}{2} = \sqrt {66} \)
Xét tam giác vuông SAM, ta có:
\[SM = \sqrt {S{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt {22} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {66} } \right)}^2}} = 2\sqrt {33} \]
Suy ra \(MH = \frac{{SM \cdot MN}}{{\sqrt {S{M^2} + M{N^2}} }} = \frac{{2\sqrt {33} \cdot \frac{{3\sqrt {22} }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {2\sqrt {33} } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3\sqrt {22} }}{2}} \right)}^2}} }} = 6\).
Vậy d(BC, SA) = 12.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C′D′ bằng 2a.
b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B′D′ và AB bằng \(a\sqrt 2 \).
c. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD′ và CC′ bằng a.
d. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC′ và CD′ bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Lời giải
Đáp án: a) Sai.b) Sai.c) Đúng.d) Đúng.
a) Sai. Vì \[\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD'\\C'D' \bot AD'\end{array} \right.\] nên d(AB, C′D′) = AD′ = \(a\sqrt 2 \)
(Vì AD′ là đường chéo trong hình vuông AA′D′D).
b) Sai. Ta có: AB ∥ (A′B′C′D′) Suy ra d(AB, B′D′) = d(AB, (A′B′C′D′))
= d(A, (A′B′C′D′)) = AA′ = a.
c) Đúng. Ta có: CC′ ∥ AA′ suy ra CC′ ∥ (AA′D′D)
Nên d(CC′, AD′) = d(CC′, (AA′D′D)) = d(C, AA′D′D)) = CD = a.
d) Đúng. Ta có BC′ ∥ AD′ suy ra BC′ ∥ (AD′C)
Nên d(BC′, CD′) = d(BC′, (AD′C)) = d(B,(AD′C)) = d(D, (AD′C))
Lấy AC ∩ BD = O. Dựng DE ⊥ D′O tại E ⇒ DE ⊥ (AD′C) ⇒ d(D, (AD′C)) = DE.
Do đó, d(BC′, CD′) = DE
Mà DA ⊥ DC ⊥ DD′ \[ \Rightarrow \frac{1}{{D{E^2}}} = \frac{1}{{D{A^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}} + \frac{1}{{D'{D^2}}}\]
Suy ra d(BC′, CD′) = DE = \(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\).
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 1
![Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = căn 3, AD = 2 căn3, SA vuông góc với mặt đáy và SA = \sqrt 3 \). Tính khoảng cách giữa SB và CD.\[\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1788683120/image21.png)
Gọi H là trung điểm của AD.
Vì ABCD là hình thang vuông nên BC = HD, và BC ∥ HD
Suy ra BCDH là hình bình hành
Suy ra CD ∥ BH
Mà BH \( \subset \) (SBH) nên CD ∥ (SBH)
Do đó \(d\left( {CD,SB} \right) = d\left( {CD,\left( {SHB} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {SHB} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SHB} \right)} \right)\).
Có: \(AH = \frac{{AD}}{2} = \sqrt 3 \)
Ta có: \(\frac{1}{{{d^2}\left( {A,\left( {SHB} \right)} \right)}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = 1\)
Vậy khoảng cách giữa SB và CD là 1.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B′D′ bằng 5.
b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B′D′ bằng 4.
c. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A′A và DC là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và mặt phẳng (CC′D′D).
d. Khoảng cách hai giữa đường thẳng CB và B′D′ là 3.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
\(\frac{a}{2}\);
\(\frac{a}{3}\);
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\);
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập