Cho hình chóp S.ABC. Tam giác ABC vuông tại B, BC = \(\sqrt {66} \), AC = \(2\sqrt {66} \), tam giác SAB đều. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AC. Tính khoảng cách giữa SA và BC.
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Khoảng cách lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 12
Dựng hình bình hành ABCD ta có:
BC ∥ AD ⇒ BC ∥ (SAD) ⇒ d(BC, SA) = d(BC, (SAD)) = 2d(M, (SAD))
Gọi N là trung điểm của AD.
Dựng MH ⊥ SN (H ∈ SN)
Do \(\widehat {ABC} = 90^\circ \)⇒ ABCD là hình chữ nhật ⇒ MN ⊥ AD
Lại có: SM ⊥ AD (do SM ⊥ (ABC)) nên AD ⊥ (SMN) ⇒ AD ⊥ MH.
Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AD \bot MH}\\{SN \bot MH}\end{array}} \right.\) ⇒ MH ⊥ (SAD).
⇒ d(M, (SAD)) = MH.
Tam giác ABC vuông tại B, BC = \(\sqrt {66} \), AC = \(2\sqrt {66} \) ⇒ \(AB = 3\sqrt {22} = SA\) (vì tam giác SAB đều)
Tam giác SAM vuông tại M có: \(SA = 3\sqrt {22} ,\,MN = \frac{1}{2}AB = \frac{{3\sqrt {22} }}{2}\)
Xét tam giác ABC vuông tại B, có:
\(AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt {66} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {66} } \right)}^2}} = 3\sqrt {22} \)
Vì tam giác SAB là tam giác đều nên SA = AB = \(3\sqrt {22} \)
Ta có: \(AM = \frac{{AC}}{2} = \sqrt {66} \)
Xét tam giác vuông SAM, ta có:
\[SM = \sqrt {S{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt {22} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {66} } \right)}^2}} = 2\sqrt {33} \]
Suy ra \(MH = \frac{{SM \cdot MN}}{{\sqrt {S{M^2} + M{N^2}} }} = \frac{{2\sqrt {33} \cdot \frac{{3\sqrt {22} }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {2\sqrt {33} } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3\sqrt {22} }}{2}} \right)}^2}} }} = 6\).
Vậy d(BC, SA) = 12.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 1
Chọn mặt phẳng (AA′B′A) chứa AB′ và song song với CC′
Khi đó d(AB′, CC′) = d(CC′, (AA′B′A)) = d(C, (AA′B′A)).
Gọi I là trung điểm của AB. Vì tam giác ABC đều nên CI ⊥ AB suy ra GI ⊥ AB
Vì \[\left\{ \begin{array}{l}A'G \bot AB\\GI \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {A'GI} \right) \Rightarrow AB \bot A'I\]
\(GI = \frac{1}{3}CI = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\)
Vì diện tích tam giác A′AB bằng \(\frac{1}{2}\) nên \(\frac{1}{2}A'I.AB = \frac{1}{2} \Leftrightarrow A'I = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Suy ra \(A'G = \sqrt {A'{I^2} - G{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Trong mặt phẳng (A′GI) kẻ GH ⊥ A′I (H ∈ A′I)
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}GH \bot A'I\\GH \bot AB\,\,\,\,\left( {AB \bot \left( {A'GI} \right)} \right)\end{array} \right.\) suy ra \(GH \bot \left( {AA'B'B} \right) \Rightarrow d\left( {G,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right) = GH\)
Xét tam giác A′GI vuông tại G có:
\(GH.A'I = A'G.GI\) suy ra \( \Rightarrow d\left( {G,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right) = GH = \frac{{A'G.GI}}{{A'I}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 6 }}{6}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{1}{3}\)
Ta lại có \(\frac{{d\left( {C,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right)}}{{d\left( {G,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right)}} = \frac{{CI}}{{GI}} = 3\)
\( \Rightarrow d\left( {C,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right) = 3.d\left( {G,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right) = 1\)
Vậy d(AB′, CC′) = 1.
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 7,07
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array}\, \Rightarrow BC\, \bot \left( {SAB} \right)\, \Rightarrow BC\, \bot HB} \right.\)
Mà AH ⊥ HB suy ra HB là đoạn vuông góc chung của AH và BC
Suy ra, d(AH, BC) = HB.
Xét tam giác SAB vuông cân tại A, có SA = AB = 10, AH ⊥ SB
\(SB = \sqrt {{{10}^2} + {{10}^2}} = 10\sqrt 2 \).
Suy ra, \(HB = \frac{1}{2}SB = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt 2 = 5\sqrt 2 \approx 7,07\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
\(\frac{a}{2}\);
\(\frac{a}{3}\);
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\);
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\);
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\);
\(\frac{{2\sqrt 2 }}{5}\);
\(\frac{{3\sqrt 5 }}{7}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK;
Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD;
Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH;
Các khẳng định trên đều sai.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập