(2,0 điểm)

a) Có hai hộp I và II mỗi hộp đựng 3 tấm thẻ cùng loại, 3 tấm thẻ trong hộp I được đánh số 1; 2; 3 và 3 tấm thẻ trong hộp II được đánh số 4; 5; 6. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một tấm thẻ.Viết không gian mẫu của phép thử và tính xác suất của biến cố \(A\): “Tổng hai số trên hai thẻ rút ra là một số lẻ”.

b) Một người lái ô tô đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 180 km trong một thời gian dự định trước. Sau khi đi được 1 giờ, ô tô gặp sự cố nên phải dừng lại 20 phút, sau đó tiếp tục đi đến địa điểm B. Để đến địa điểm B đúng thời gian đã định, người lái ô tô phải tăng vận tốc thêm 12 km/h so với vận tốc ban đầu trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô đó.

a) Theo tính chất tiếp tuyến thì ta có \(\widehat {AMO} = \widehat {ANO} = 90^\circ \) nên hai điểm \(M,\,\,N\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AO.\)

Như vậy tứ giác \(AMON\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(AO.\)

Vậy bốn điểm \(A,M,O,N\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \(AP.AQ = A{M^2}\):

Xét \(\Delta PAM\) và \(\Delta MAQ\) có \[\widehat {AMQ}\] là góc chung và \[\widehat {AMP} = \widehat {AQM}\]

Suy ra $\Delta PAM\backsim \Delta MAQ$ (g.g), nên \(\frac{{AM}}{{AQ}} = \frac{{AP}}{{AM}}\), hay \(A{M^2} = AP.AQ\).

*) Chứng minh \(HJ\) vuông góc với \(MI\):

Xét \(\Delta OMA\) và \(\Delta OHM\) có \(\widehat {MOH}\) là góc chung và \(\widehat {OHM} = \widehat {OMA} = 90^\circ \)

Suy ra $\Delta OMA\backsim \Delta OHM$ (g.g).

Dẫn đến \(\frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{OA}}\) hay \(\frac{{OH}}{{OP}} = \frac{{OP}}{{OA}} = \frac{{OP - OH}}{{OA - OP}} = \frac{{OP + OH}}{{OA + OP}} = \frac{{OH + OQ}}{{OA + OQ}}\) tức là \(\frac{{HP}}{{AP}} = \frac{{HQ}}{{AQ}}\quad \left( 1 \right).\)

Ta sẽ chứng minh \(I{H^2} = IP.IQ\).

Thật vậy: (1) tương đương \(\frac{{AQ}}{{AP}} = \frac{{HQ}}{{HP}}\).

Mặt khác: \(\frac{{AQ}}{{AP}} = \frac{{IA + IQ}}{{IP + IA}};\quad \frac{{HQ}}{{HP}} = \frac{{IQ - IH}}{{IH - IP}}.\)

Mà \(IA = IH\) nên \(\frac{{IQ + IA}}{{IA + IP}} = \frac{{IQ - IH}}{{IH - IP}}.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta suy ra được \(\frac{{IH}}{{IP}} = \frac{{IQ}}{{IH}}\), nên \(I{H^2} = IP.IQ\).

Xét \(\Delta IPJ\) và \(\Delta IMQ\) có \(\widehat {MIQ}\) là góc chung và \(\widehat {IPJ} = \widehat {IMQ}\) (Do tứ giác \(PJMQ\) nội tiếp đường tròn)

Suy ra $\Delta IPJ\backsim \Delta IMQ$ (g.g), dẫn đến \(\frac{{IP}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IQ}}\), hay \(IP.IQ = IM.IJ\).

Từ đây suy ra \(I{H^2} = IM.IJ\), tương đương với \(\frac{{IH}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IH}}\)

Xét \(\Delta IHJ\) và \(\Delta IMH\) có \(\widehat {MIQ}\) là góc chung và \(\frac{{IH}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IH}}\)

Do đó $\Delta IHJ\backsim \Delta IMH$ (c.g.c), nên là \(\widehat {IJH} = \widehat {IHM} = 90^\circ \), hay \(HJ \bot MI\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = 6}\\{x + 2y = 4}\end{array}} \right.\), tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 2y = 6}\\{x + 2y = 4}\end{array}} \right.\), hay là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x = 10}\\{x + 2y = 4}\end{array}} \right.\)

Hay ta có \(x = 2\). Thay vào \(x + 2y = 4\) thì \(2 + 2y = 4\), dẫn đến \(y = 1\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\).