(0,5 điểm) Bác Quang xây nhà mới và muốn làm một cửa sổ như hình bên (phần nét liền), bao gồm: một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm là trung điểm của cạnh hình chữ nhật. Bác dự định làm tổng độ dài đường viền của cửa sổ là 6 m. Hỏi diện tích lớn nhất của cửa sổ là bao nhiêu?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi bán kính nửa đường tròn là \(r\,\,\left( {\rm{m}} \right)\), chiều cao hình chữ nhật là \(h\,\,\left( {\rm{m}} \right)\,\,\left( {r > 0,\,h > 0} \right)\).
Khi đó, chiều rộng của hình chữ nhật là \(2r\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Tổng độ dài đường viền của cửa sổ gồm hai cạnh bên, cạnh đáy và cung nửa đường tròn nên:
\(2h + 2r + \pi r = 6\)
Suy ra \(h = \frac{{6 - \left( {2 + \pi } \right)r}}{2}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Diện tích của sổ là \(S = 2rh + \frac{1}{2}\pi {r^2}\).
Thay \(h = \frac{{6 - \left( {2 + \pi } \right)r}}{2}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) được \(S = 2r\frac{{6 - \left( {2 + \pi } \right)r}}{2}\, + \frac{1}{2}\pi {r^2}\)4
\(S = 6r - \left( {2 + \pi } \right){r^2}\, + \frac{1}{2}\pi {r^2}\)
\(S = 6r - \left( {2 + \frac{1}{2}\pi } \right){r^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng \(ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\) ta đătk \(k = 2 + \frac{\pi }{2} = \frac{{4 + \pi }}{2}\).
Khi đó, \(S = 6r - k{r^2} = r\left( {6 - kr} \right) = \frac{1}{k} \cdot \left( {kr} \right) \cdot \left( {6 - kr} \right)\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(kr;\,\,\left( {6 - kr} \right)\), có:
\(kr \cdot \left( {6 - kr} \right) \le {\left( {\frac{{kr + 6 - kr}}{2}} \right)^2}\) hay \(kr \cdot \left( {6 - kr} \right) \le 9\)
Suy ra \(\frac{1}{k} \cdot \left( {kr} \right) \cdot \left( {6 - kr} \right) \le \frac{1}{k} \cdot 9 = \frac{9}{{\frac{{\pi + 4}}{2}}} = \frac{{18}}{{\pi + 4}}\) hay \(S \le \frac{{18}}{{\pi + 4}}\).
Dấu “=” xảy ra khi \(kr = 6 - kr\) hay \(kr = 3\), suy ra \(r = \frac{3}{k} = \frac{6}{{4 + \pi }}\).
Khi đó \(2h = 6 - \left( {\pi + 2} \right) \cdot \frac{6}{{\pi + 4}} = \frac{{12}}{{4 + \pi }}\) (thỏa mãn)
Vậy diện tích lớn nhất của cửa sổ là \(\frac{{18}}{{\pi + 4}}\,\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
2.1. Ta có: \(\sqrt {81} + \sqrt {64} - \sqrt 4 = 9 + 8 - 2 = 15\).
2.2. a) Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\), ta có: \(A = \frac{4}{{\sqrt x + 1}} + \frac{5}{{\sqrt x - 1}}\)
\( = \frac{{4\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{5\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)
\( = \frac{{4\sqrt x - 4 + 5\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)
\( = \frac{{9\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)
Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\), biểu thức thu gọn là \(A = \frac{{9\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\).
b) Với \(x = 4\)(TMĐK), thay vào \(A = \frac{{9\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\) được: \(A = \frac{{9\sqrt 4 + 1}}{{\left( {\sqrt 4 + 1} \right)\left( {\sqrt 4 - 1} \right)}} = \frac{{9 \cdot 2 + 1}}{{3 \cdot 1}} = \frac{{19}}{3}\).
Vậy với \(x = 4\) thì \(A = \frac{{19}}{3}\).
Lời giải
a) Ta có bảng giá trị sau:
|
\(x\) |
\( - 2\) |
\( - 1\) |
0 |
1 |
2 |
|
\(y = - 2{x^2}\) |
\( - 8\) |
\( - 2\) |
0 |
\( - 2\) |
\( - 8\) |
Đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm:
\(O\left( {0;\,\,0} \right);\,\,A\left( { - 2;\,\, - 8} \right);\,\,B\left( { - 1;\,\, - 2} \right);\,\,C\left( {1;\,\, - 2} \right);\,\,D\left( {2;\,\, - 8} \right)\).
Vì hệ số \(a = - 2 < 0\) nên parabol có bề cong hướng xuống. Đồ thị hàm số nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.
Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}\) như sau:
b) Ta có biểu đồ tần số:
c) Phép thử: lấy ngẫu nhiên cùng lúc hai viên bi từ túi gồm 5 viên bi.
Ta có không gian mẫu là tập hợp tất cả các cặp bi có thể lấy ra. Ta liệt kê các kết quả này (mỗi kết quả là một tập hợp gồm 2 viên bi không phân biệt thứ tự).
\(\Omega = \left\{ {\left( {1,\,\,2} \right);\,\,\left( {1,\,3} \right);\,\,\left( {1,\,\,4} \right);\,\,\left( {1,\,\,5} \right);\,\,\left( {2,\,\,3} \right);\,\,\left( {2,\,\,4} \right);\,\,\left( {2,\,\,5} \right);\,\,\left( {3,\,\,4} \right);\,\,\left( {3,\,\,5} \right);\,\,\left( {4,\,5} \right)} \right\}\).
Do đó, số phần tử của không gian mẫu là 10.
Theo giả thiết, 5 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được lấy ra một cách ngẫu nhiên. Đồng thời, mỗi cặp 2 viên bi bất kì (trong 10 cặp kể trên) đều có khả năng được lấy ra như nhau. Vậy kết quả có thể của phép thử là đồng khả năng. Gọi E là biến cố “Tích của hai số ghi trên viên bi lớn hơn 6”.
Do đó, nhận thấy các kết quả thuận lợi cho biến cố E là: (2, 4); (2, 5); (3, 4); (3, 5); (4, 5).
Suy ra có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố trên.
Vậy xác suất của biến cố E là: \(P = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập