(0,5 điểm) Bác Quang xây nhà mới và muốn làm một cửa sổ như hình bên (phần nét liền), bao gồm: một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm là trung điểm của cạnh hình chữ nhật. Bác dự định làm tổng độ dài đường viền của cửa sổ là 6 m. Hỏi diện tích lớn nhất của cửa sổ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc lúc đi là \(x\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) \(x > 0\).

Thời gian đi từ A đến B là \(\frac{{100}}{x}\) (giờ).

Quãng đường lúc về là \(100 + 20 = 120\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Vận tốc lúc về là \(x + 20\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) nên thời gian về là \(\frac{{120}}{{x + 20}}\) (giờ)

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút = \(\frac{1}{2}\) giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{{100}}{x} - \frac{{120}}{{x + 20}} = \frac{1}{2}\)

Giải phương trình:

\(\frac{{100}}{x} - \frac{{120}}{{x + 20}} = \frac{1}{2}\)

\(200\left( {x + 20} \right) - 240x = x\left( {x + 2} \right)\)

\(200x + 4\,\,000 - 240x = {x^2} + 20x\)

\({x^2} + 60x - \,4\,\,000 = 0\)

\(\left( {x - 40} \right)\left( {x + 100} \right) = 0\)

Vì \(x > 0\) nên \(x = 40\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc lúc đi là 40 km/h.

a) Vì \(BE \bot AC\) và \(H \in BE\) nên \(\widehat {AEH} = 90^\circ \).

Vì \(CF \bot AB\) và \(H \in CF\) nên \(\widehat {AFH} = 90^\circ \).

Do đó, \(\widehat {AFH} = \widehat {AEH} = 90^\circ \).

Từ đây chứng minh được \(A,\,\,F,H,\,\,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\).

Vậy tứ giác \(AFHE\) là tứ giác nội tiếp.

b) Vì \(AD \bot BC\) nên trong tam giác vuông \(ABD\) có \(AD = AB \cdot \sin \widehat {ABC}\).

Mặt khác, do tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) và \(AM\) là đường kính nên

\(AM = 2R\).

Theo định lí sin trong tam giác \(ABC\) có: \(\widehat {\frac{{AC}}{{\sin ABC}}} = 2R = AM\).

Suy ra \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AM}}\), do đó \(AD = AB \cdot \frac{{AC}}{{AM}}\).

Suy ra \(AD \cdot AM = AB \cdot AC\).

c) Ta chứng minh \(K\) là trung điểm của \(HM\).

Do \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ABM} = 90^\circ ;\,\,\,\widehat {ACM} = 90^\circ \).

Suy ra \(BM \bot AB;\,\,CM \bot AC\).

Mà \(CH \bot AB\), \(BH \bot AC\).

Do đó, \(BM\parallel CH,\,\,CM\parallel BH\).

Suy ra tứ giác \(BHCM\) là hình bình hành.

Vì \(K\) là trung điểm của \(BC\) mà trong hình bình hành \(BHCM\) hai đường chéo \(BC\) và \(HM\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Suy ra \(K\) là trung điểm của \(HM\)

Vậy ba điểm \(H,\,K,\,M\) thẳng hàng.