(3,5 điểm)

Giả sử một đống cát có dạng hình nón với bán kính đáy bằng \(4{\rm{ m}}\) và chiều cao bằng \(1,5{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

 

a) Tính thể tích của đống cát trên.

b) Người ta dùng một chiếc xe cải tiến với thùng chứa của xe có dạng hình hộp chữ nhật có kích thước dài \(1{\rm{ m}}\), rộng \(0,6{\rm{ m}}\), cao \(0,3{\rm{ m}}\) để vận chuyển đống cát đến khu xây dựng. Mỗi chuyến xe người ta vận chuyển được một lượng cát có thể tích không vượt quá thể tích của thùng xe. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chuyến xe để vận chuyển hết đống cát trên đến khu xây dựng?

a) Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\widehat {ECF} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta ECF\) vuông tại \(C\), suy ra \(\Delta ECF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(EF.\)

Do đó ba điểm \(C,\,\,E,\,\,F\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(EF\) (1).

Ta có \(AE \bot AF\) tại \(A\) nên \(\Delta AEF\) vuông tại \(A\), suy ra \(\Delta AEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(EF.\) Do đó ba điểm \(A,\,\,E,\,\,F\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(EF\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(A,\,\,E,\,\,C,\,\,F\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(EF.\)

Vậy tứ giác \(AECF\) nội tiếp.

b) Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\widehat {ACD} = 45^\circ \).

Ta có tứ giác \(AECF\) nội tiếp nên \(\widehat {ACF} = \widehat {AEF} = 45^\circ \) (cùng chắn cung \[AF\]).

Mà \(\Delta AEF\) vuông tại \(A\) nên \(\Delta AEF\) vuông cân tại \(A\).

Hơn nữa \[I\] là trung điểm của \(EF\) nên \[AI\] vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của \(\Delta AEF.\)

Suy ra \(AI \bot EF\) hay \(AK \bot EF\).

Xét \(\Delta CEF\) và \(\Delta IKF\) có: \(\widehat {CFE}\) chung; \(\widehat {FIK} = \widehat {ECF} = 90^\circ .\)

Suy ra $\Delta CEF\backsim \Delta IKF$ (g.g) nên \[\frac{{CF}}{{IF}} = \frac{{EF}}{{KF}}\].

Vậy \(FI \cdot FE = FK \cdot FC\).

c) Ta có \(\Delta AEF\) vuông cân tại \(A\). Hơn nữa \[I\] là trung điểm của \(EF\) nên \[AI\] vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác của \(\Delta AEF\). Suy ra \(\widehat {EAI} = 45^\circ \) và \(IA = IE\).

Ta có \(\Delta CEF\) vuông tại \(C\) có \[I\] là trung điểm của \(EF\) nên \(IC = IE\).

Suy ra \(IC = IA\) nên \[I\] thuộc đường trung trực của \[AC.\]

Ta lại có \(ABCD\) là hình vuông nên \[BD\] là đường trung trực của \[AC.\]

Do đó bốn điểm \(B,\,\,L,\,\,I,\,\,D\) thẳng hàng.

Suy ra \(LA = LC\).

Xét \(\Delta LAI\) và \(\Delta LCI\) có:

\(LA = LC\) (cmt); \(IC = IA\) (cmt); cạnh IL chung

Suy ra \(\Delta LAI = \Delta LCI\) (c.c.c). Khi đó \(\widehat {LAI} = \widehat {LCI} = 45^\circ \).

Vậy khi \(E\) thay đổi trên cạnh \(BC\) thì số đo của góc \(LCI\) không đổi.