Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(E\) là một điểm thay đổi trên cạnh \(BC\) (\(E\) khác \(B,\,\,C\)). Qua \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AE\) và cắt tia \(CD\) tại \(F\).

a) Chứng minh tứ giác \(AECF\) nội tiếp.

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(EF\), tia \(AI\) cắt \(CD\) tại \(K\).

Chứng minh \(FI.FE = FK.FC\).

c) Gọi \(L\) là giao điểm của \(BI\) và \(AE\). Chứng minh rằng khi \(E\) thay đổi trên cạnh \(BC\) thì số đo của góc \(LCI\) không đổi.

a) Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\widehat {ECF} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta ECF\) vuông tại \(C\), suy ra \(\Delta ECF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(EF.\)

Do đó ba điểm \(C,\,\,E,\,\,F\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(EF\) (1).

Ta có \(AE \bot AF\) tại \(A\) nên \(\Delta AEF\) vuông tại \(A\), suy ra \(\Delta AEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(EF.\) Do đó ba điểm \(A,\,\,E,\,\,F\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(EF\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(A,\,\,E,\,\,C,\,\,F\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(EF.\)

Vậy tứ giác \(AECF\) nội tiếp.

b) Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\widehat {ACD} = 45^\circ \).

Ta có tứ giác \(AECF\) nội tiếp nên \(\widehat {ACF} = \widehat {AEF} = 45^\circ \) (cùng chắn cung \[AF\]).

Mà \(\Delta AEF\) vuông tại \(A\) nên \(\Delta AEF\) vuông cân tại \(A\).

Hơn nữa \[I\] là trung điểm của \(EF\) nên \[AI\] vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của \(\Delta AEF.\)

Suy ra \(AI \bot EF\) hay \(AK \bot EF\).

Xét \(\Delta CEF\) và \(\Delta IKF\) có: \(\widehat {CFE}\) chung; \(\widehat {FIK} = \widehat {ECF} = 90^\circ .\)

Suy ra $\Delta CEF\backsim \Delta IKF$ (g.g) nên \[\frac{{CF}}{{IF}} = \frac{{EF}}{{KF}}\].

Vậy \(FI \cdot FE = FK \cdot FC\).

c) Ta có \(\Delta AEF\) vuông cân tại \(A\). Hơn nữa \[I\] là trung điểm của \(EF\) nên \[AI\] vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác của \(\Delta AEF\). Suy ra \(\widehat {EAI} = 45^\circ \) và \(IA = IE\).

Ta có \(\Delta CEF\) vuông tại \(C\) có \[I\] là trung điểm của \(EF\) nên \(IC = IE\).

Suy ra \(IC = IA\) nên \[I\] thuộc đường trung trực của \[AC.\]

Ta lại có \(ABCD\) là hình vuông nên \[BD\] là đường trung trực của \[AC.\]

Do đó bốn điểm \(B,\,\,L,\,\,I,\,\,D\) thẳng hàng.

Suy ra \(LA = LC\).

Xét \(\Delta LAI\) và \(\Delta LCI\) có:

\(LA = LC\) (cmt); \(IC = IA\) (cmt); cạnh IL chung

Suy ra \(\Delta LAI = \Delta LCI\) (c.c.c). Khi đó \(\widehat {LAI} = \widehat {LCI} = 45^\circ \).

Vậy khi \(E\) thay đổi trên cạnh \(BC\) thì số đo của góc \(LCI\) không đổi.