(1,0 điểm) Biết \(a\) và \(b\) là các số thực thay đổi sao cho phương trình \({x^2} - 2ax + 2{a^2} + {b^2} - 5 = 0\) (\(x\) là ẩn) có nghiệm. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\).
Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026 Quảng Ngãi !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta \ge 0\) hay \[{\left( { - 2a} \right)^2} - 4\left( {2{a^2} + {b^2} - 5} \right) \ge 0\], suy ra \({a^2} + {b^2} \le 5.\)
⦁ Ta có \(P = \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = ab + a + b + 1\)
\( = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{2} + a + b + 1\)
\( \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 5}}{2} + a + b + 1\)
\( = \frac{1}{2}{\left[ {\left( {a + b} \right) + 1} \right]^2} - 2 \ge - 2\)
Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \( - 2\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = - 1}\\{{a^2} + {b^2} = 5}\end{array}} \right.\), tức là \[\left( {a\,;\,\,b} \right) = \left( { - 2\,;\,\,\,1} \right)\] hoặc \(\left( {a\,;\,\,b} \right) = \left( {1\,;\,\, - 2} \right).\)
⦁ Ta có \(P = \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = ab + a + b + 1\).
Ta có \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) suy ra \(2ab \le {a^2} + {b^2}\).
Vì \({a^2} + {b^2} \le 5\), ta suy ra \(2ab \le 5\), do đó \(ab \le \frac{5}{2}\).
Mặt khác, \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab \le 5 + 5 = 10\).
Từ kết quả này, ta có \(a + b \le \sqrt {10} \).
Khi đó, \(P \le \frac{5}{2} + \sqrt {10} + 1 = \frac{7}{2} + \sqrt {10} \)
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là \(\frac{7}{2} + \sqrt {10} \).
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\{a^2} + {b^2} = 5\\a + b > 0\end{array} \right.\) tức là \(a = b = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có \(2x - 10 < 0\)
\(2x < 10\)
\(x < 5\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < 5\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Tính thể tích của đống cát trên là: \({V_{cat}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot {4^2} \cdot 1,5 = 8\pi {\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\).
b) Thể tích thùng xe là: \({V_{xe}} = 1 \cdot 0,6 \cdot 0,3 = 0,18{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Số chuyến xe cần để vận chuyển hết đống cát là: \(\frac{{8\pi }}{{0,18}} \approx 139,6\) (chuyến).
Vậy số chuyến xe ít nhất cần để vận chuyển hết đống cát đến khu xây dựng là 140 chuyến.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập