(1,0 điểm) Biết \(a\) và \(b\) là các số thực thay đổi sao cho phương trình \({x^2} - 2ax + 2{a^2} + {b^2} - 5 = 0\) (\(x\) là ẩn) có nghiệm. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\).
Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026 Quảng Ngãi !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta \ge 0\) hay \[{\left( { - 2a} \right)^2} - 4\left( {2{a^2} + {b^2} - 5} \right) \ge 0\], suy ra \({a^2} + {b^2} \le 5.\)
⦁ Ta có \(P = \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = ab + a + b + 1\)
\( = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{2} + a + b + 1\)
\( \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 5}}{2} + a + b + 1\)
\( = \frac{1}{2}{\left[ {\left( {a + b} \right) + 1} \right]^2} - 2 \ge - 2\)
Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \( - 2\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = - 1}\\{{a^2} + {b^2} = 5}\end{array}} \right.\), tức là \[\left( {a\,;\,\,b} \right) = \left( { - 2\,;\,\,\,1} \right)\] hoặc \(\left( {a\,;\,\,b} \right) = \left( {1\,;\,\, - 2} \right).\)
⦁ Ta có \(P = \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = ab + a + b + 1\).
Ta có \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) suy ra \(2ab \le {a^2} + {b^2}\).
Vì \({a^2} + {b^2} \le 5\), ta suy ra \(2ab \le 5\), do đó \(ab \le \frac{5}{2}\).
Mặt khác, \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab \le 5 + 5 = 10\).
Từ kết quả này, ta có \(a + b \le \sqrt {10} \).
Khi đó, \(P \le \frac{5}{2} + \sqrt {10} + 1 = \frac{7}{2} + \sqrt {10} \)
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là \(\frac{7}{2} + \sqrt {10} \).
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\{a^2} + {b^2} = 5\\a + b > 0\end{array} \right.\) tức là \(a = b = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \(2x - 10 < 0\)
\(2x < 10\)
\(x < 5\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < 5\).
Lời giải
1. Ta có \(1 + \sqrt 4 = 1 + 2 = 3.\)
2. Với \(x > 0,x \ne 1\), ta có:
\(A = \frac{x}{{x - \sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)\( = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1.\)
3. Bảng giá trị:
|
\(x\) |
0 |
\( - 3\) |
|
\(y = x + 3\) |
3 |
0 |
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập