(1,0 điểm) Biết \(a\) và \(b\) là các số thực thay đổi sao cho phương trình \({x^2} - 2ax + 2{a^2} + {b^2} - 5 = 0\) (\(x\) là ẩn) có nghiệm. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\).
Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026 Quảng Ngãi !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta \ge 0\) hay \[{\left( { - 2a} \right)^2} - 4\left( {2{a^2} + {b^2} - 5} \right) \ge 0\], suy ra \({a^2} + {b^2} \le 5.\)
⦁ Ta có \(P = \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = ab + a + b + 1\)
\( = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{2} + a + b + 1\)
\( \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 5}}{2} + a + b + 1\)
\( = \frac{1}{2}{\left[ {\left( {a + b} \right) + 1} \right]^2} - 2 \ge - 2\)
Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \( - 2\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = - 1}\\{{a^2} + {b^2} = 5}\end{array}} \right.\), tức là \[\left( {a\,;\,\,b} \right) = \left( { - 2\,;\,\,\,1} \right)\] hoặc \(\left( {a\,;\,\,b} \right) = \left( {1\,;\,\, - 2} \right).\)
⦁ Ta có \(P = \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = ab + a + b + 1\).
Ta có \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) suy ra \(2ab \le {a^2} + {b^2}\).
Vì \({a^2} + {b^2} \le 5\), ta suy ra \(2ab \le 5\), do đó \(ab \le \frac{5}{2}\).
Mặt khác, \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab \le 5 + 5 = 10\).
Từ kết quả này, ta có \(a + b \le \sqrt {10} \).
Khi đó, \(P \le \frac{5}{2} + \sqrt {10} + 1 = \frac{7}{2} + \sqrt {10} \)
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là \(\frac{7}{2} + \sqrt {10} \).
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\{a^2} + {b^2} = 5\\a + b > 0\end{array} \right.\) tức là \(a = b = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \(2x - 10 < 0\)
\(2x < 10\)
\(x < 5\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < 5\).
Lời giải
a) Tính thể tích của đống cát trên là: \({V_{cat}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot {4^2} \cdot 1,5 = 8\pi {\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\).
b) Thể tích thùng xe là: \({V_{xe}} = 1 \cdot 0,6 \cdot 0,3 = 0,18{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Số chuyến xe cần để vận chuyển hết đống cát là: \(\frac{{8\pi }}{{0,18}} \approx 139,6\) (chuyến).
Vậy số chuyến xe ít nhất cần để vận chuyển hết đống cát đến khu xây dựng là 140 chuyến.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập