(1,5 điểm) Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) với \(OA = 2R\), vẽ hai tiếp tuyến \(AB\), \(AC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(B,C\) là hai tiếp điểm). Vẽ đường kính \(BD\) của đường tròn \(\left( O \right)\), tia \(AD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(E\). Gọi \(K\) là giao điểm của hai đường thẳng \(OA\) và \(BC.\)
a) Chứng minh \(OA\) vuông góc với \(BC\) và bốn điểm \(A,B,K,E\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \(AK \cdot AO = AE \cdot AD\).
c) Vẽ \(CH\) vuông góc với \(BD\) tại \(H\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(CH\) và \(AD\); \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC\); tia \(IM\) cắt \(AB\) tại \(N\). Tính diện tích của tứ giác \(ANOC\) theo \(R\).
(1,5 điểm) Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) với \(OA = 2R\), vẽ hai tiếp tuyến \(AB\), \(AC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(B,C\) là hai tiếp điểm). Vẽ đường kính \(BD\) của đường tròn \(\left( O \right)\), tia \(AD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(E\). Gọi \(K\) là giao điểm của hai đường thẳng \(OA\) và \(BC.\)
a) Chứng minh \(OA\) vuông góc với \(BC\) và bốn điểm \(A,B,K,E\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \(AK \cdot AO = AE \cdot AD\).
c) Vẽ \(CH\) vuông góc với \(BD\) tại \(H\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(CH\) và \(AD\); \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC\); tia \(IM\) cắt \(AB\) tại \(N\). Tính diện tích của tứ giác \(ANOC\) theo \(R\).
Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026 Cần Thơ !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: \(OA \bot BC\) (vì theo tính chất hai tiếp tuyến đồng quy) suy ra \(\widehat {BKA} = 90^\circ \) nên 3 điểm \(B,K,A\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AB\).
Mặt khác, ta có \(\widehat {BED} = 90^\circ \) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\widehat {BEA} = 180^\circ - \widehat {BED} = 90^\circ \) suy ra 3 điểm \(B,E,A\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AB\).
Vậy 4 điểm \(B,A,E,K\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AB\)
b) Ta có: \(\widehat {ABE} = \widehat {ADB}\) (cùng phụ \(\widehat {EBD}\)) và \(\widehat {BAE} = \widehat {BAD}\)
Do đó (g.g) nên \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}}\) suy ra \(A{B^2} = AD \cdot AE\).
Ta cũng chứng minh được (g.g) nên \[\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AO}}{{AB}}\] suy ra \(A{B^2} = AK \cdot AO\).
Vậy \(AD \cdot AE = AK \cdot AO\).
c) ⊕ Gọi \(S\) là giao điểm của \(CD\) với \(AB\).
Ta có \(AO\,{\rm{//}}\,SD\) nên theo tính chất đường trung bình ta được \(SA = AB\).
Vì \(CH\,{\rm{//}}\,AB\) nên theo hệ quả định lí Thales ta thu được: \(\frac{{CM}}{{SA}} = \frac{{MH}}{{AB}}\left( { = \frac{{MD}}{{AD}}} \right)\)
Mà \(SA = AB\) cho nên \(CM = MH\).
Tương tự, ta có: \(\frac{{MH}}{{NB}} = \frac{{CM}}{{AN}}\left( { = \frac{{IM}}{{IN}}} \right)\) mà \(CM = MH\) suy ra \(AN = NB\).
⊕ Gọi diện tích tứ giác \(ANOC\); \(\Delta ABO,\,\,\Delta AOC,\,\,\Delta ANO\) lần lượt là: \({S_{ANOC}}\); \({S_{ABO}},{S_{AOC}},{S_{ANO}}\).
Ta có: \({S_{ACO}} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot R \cdot \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = \frac{{\sqrt 3 {R^2}}}{2}\).
\({S_{ACO}} = {S_{ABO}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 2AN \cdot OB = 2{S_{ANO}}\) suy ra \({S_{ANO}} = \frac{{\sqrt 3 {R^2}}}{4}\).
⊕ Vậy diện tích tứ giác \(ANOC\) là: \({S_{ANOC}} = {S_{AOC}} + {S_{ANO}} = \frac{{3\sqrt 3 {R^2}}}{4}\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Theo định lí Viète cho phương trình \({x^2} + 4x - 1 = 0\), ta có tổng hai nghiệm \({x_1} + {x_2} = - 4\) và tích hai nghiệm \({x_1}{x_2} = - 1\).
Khi đó, \({x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} = - 4 + \left( { - 1} \right) = - 5\).
Câu 2
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Giải phương trình tích:
\(\left( {2x - 4} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\)
\(2x - 4 = 0\) hoặc \(x + 3 = 0\)
\(x = 2\) hoặc \(x = - 3\).
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập