Hai hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y = 3}\\{x + y = 1}\end{array}} \right.\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ax + 2y = 0}\\{3x - 2y = 8}\end{array}} \right.\) có cùng một nghiệm là cặp số \(\left( {x;\,\,y} \right)\) khi

Đáp án: a) Đúng.      b) Đúng.         c) Sai.             d) Đúng.

a) Đúng. Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] theo tỉ số lượng giác, \(\sin B\) bằng cạnh đối chia cạnh huyền, tức là \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\).

b) Đúng. Xét tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\] (do \(AH \bot BC\)), \(\sin B\) bằng cạnh đối chia cạnh huyền trong tam giác này, tức là \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\).

c) Sai. Ta có \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\) nên \(\sin 60^\circ  = \frac{{10}}{{BC}}\)

Suy ra \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{10}}{{BC}}\) nên \(BC = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\) cm.

Khẳng định \(BC = 20\sqrt 3 \) cm là sai.

d) Đúng. Trong tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] đường cao \[AH,\] ta có hệ thức liên hệ giữa diện tích và các cạnh: \(\frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot AC\).

Ta có \(AB = BC \cdot \cos B = \left( {\frac{{20\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot \cos 60^\circ  = \left( {\frac{{20\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\) cm.

Vậy \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{\left( {\frac{{10\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot 10}}{{\frac{{20\sqrt 3 }}{3}}} = \frac{{100\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{3}{{20\sqrt 3 }} = 5\) cm.

1. Gọi số bộ quần áo mà mỗi ngày xưởng đó phải may theo kế hoạch là \(x\) bộ. Điều kiện: \(x \in \mathbb{N}{\rm{*}}\).

Suy ra số bộ quần áo thực tế là: \(x + 4\) bộ.

Suy ra thời gian may hết 360 bộ quần áo theo kế hoạch là: \(\frac{{360}}{x}\) (ngày) và theo thực tế là: \(\frac{{360}}{{x + 4}}\) (ngày).

Theo đề bài ta có phương trình:

\(\frac{{360}}{x} - \frac{{360}}{{x + 4}} = 1\)

\(360\left( {x + 4} \right) - 360x = x\left( {x + 4} \right)\)

\({x^2} + 4x - 1440 = 0\)

\(\left( {x - 36} \right)\left( {x + 40} \right) = 0\)

\(x - 36 = 0\) hoặc \(x + 40 = 0\)

\(x = 36\) (thỏa mãn) hoặc \(x =  - 40\) (không thỏa mãn)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng đó phải may 36 bộ quần áo.

2. Ta có bán kính của chiếc mũ sinh nhật này là: \(r = \frac{{31,4}}{{3,14}} = 10\) cm.

Diện tích giấy cần dùng để làm 1 nón sinh nhật (chưa tính phần hao phí) là

\(S = 3,14 \cdot 10 \cdot \sqrt {{{10}^2} + {{24}^2}}  = 816,4.\)

Tuy nhiên, để đủ giấy làm 1 mũ sinh nhật thì ta cần cần tính cả phần hao phí.

Vậy diện tích giấy cần dùng làm mũ sinh nhật là:

\(S + 10\% S = 898,04{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2} = 0,089804{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)

Suy ra tổng số tiền mua giấy để làm 15 chiếc mũ sinh nhật là:

\(15 \cdot 0,089804 \cdot 50000 = 67353\) (đồng) \( \approx 67\) (nghìn đồng).