(0,75 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB > AC\), đường trung tuyến \(AM\). Trên cạnh \(AB\) lấy một điểm \(D\) sao cho \(AD > DB\), vẽ đường tròn tâm \(D\) tiếp xúc với cạnh \(BC\) tại \(H\). Từ điểm \(C\) vẽ tiếp tuyến thứ hai \(CE\) của đường tròn tâm \(D\) (\(E\) là tiếp điểm). Gọi \(K\) là trung điểm của \(AE\), \(I\) là giao điểm của \(CE\) và \(AM\). Chứng minh rằng đường thẳng \(KI\) đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(CMI\).

Đáp án: a) Đúng.      b) Đúng.         c) Sai.             d) Đúng.

a) Đúng. Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] theo tỉ số lượng giác, \(\sin B\) bằng cạnh đối chia cạnh huyền, tức là \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\).

b) Đúng. Xét tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\] (do \(AH \bot BC\)), \(\sin B\) bằng cạnh đối chia cạnh huyền trong tam giác này, tức là \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\).

c) Sai. Ta có \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\) nên \(\sin 60^\circ  = \frac{{10}}{{BC}}\)

Suy ra \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{10}}{{BC}}\) nên \(BC = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\) cm.

Khẳng định \(BC = 20\sqrt 3 \) cm là sai.

d) Đúng. Trong tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] đường cao \[AH,\] ta có hệ thức liên hệ giữa diện tích và các cạnh: \(\frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot AC\).

Ta có \(AB = BC \cdot \cos B = \left( {\frac{{20\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot \cos 60^\circ  = \left( {\frac{{20\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\) cm.

Vậy \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{\left( {\frac{{10\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot 10}}{{\frac{{20\sqrt 3 }}{3}}} = \frac{{100\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{3}{{20\sqrt 3 }} = 5\) cm.

1. Gọi số bộ quần áo mà mỗi ngày xưởng đó phải may theo kế hoạch là \(x\) bộ. Điều kiện: \(x \in \mathbb{N}{\rm{*}}\).

Suy ra số bộ quần áo thực tế là: \(x + 4\) bộ.

Suy ra thời gian may hết 360 bộ quần áo theo kế hoạch là: \(\frac{{360}}{x}\) (ngày) và theo thực tế là: \(\frac{{360}}{{x + 4}}\) (ngày).

Theo đề bài ta có phương trình:

\(\frac{{360}}{x} - \frac{{360}}{{x + 4}} = 1\)

\(360\left( {x + 4} \right) - 360x = x\left( {x + 4} \right)\)

\({x^2} + 4x - 1440 = 0\)

\(\left( {x - 36} \right)\left( {x + 40} \right) = 0\)

\(x - 36 = 0\) hoặc \(x + 40 = 0\)

\(x = 36\) (thỏa mãn) hoặc \(x =  - 40\) (không thỏa mãn)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng đó phải may 36 bộ quần áo.

2. Ta có bán kính của chiếc mũ sinh nhật này là: \(r = \frac{{31,4}}{{3,14}} = 10\) cm.

Diện tích giấy cần dùng để làm 1 nón sinh nhật (chưa tính phần hao phí) là

\(S = 3,14 \cdot 10 \cdot \sqrt {{{10}^2} + {{24}^2}}  = 816,4.\)

Tuy nhiên, để đủ giấy làm 1 mũ sinh nhật thì ta cần cần tính cả phần hao phí.

Vậy diện tích giấy cần dùng làm mũ sinh nhật là:

\(S + 10\% S = 898,04{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2} = 0,089804{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)

Suy ra tổng số tiền mua giấy để làm 15 chiếc mũ sinh nhật là:

\(15 \cdot 0,089804 \cdot 50000 = 67353\) (đồng) \( \approx 67\) (nghìn đồng).