(0,75 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB > AC\), đường trung tuyến \(AM\). Trên cạnh \(AB\) lấy một điểm \(D\) sao cho \(AD > DB\), vẽ đường tròn tâm \(D\) tiếp xúc với cạnh \(BC\) tại \(H\). Từ điểm \(C\) vẽ tiếp tuyến thứ hai \(CE\) của đường tròn tâm \(D\) (\(E\) là tiếp điểm). Gọi \(K\) là trung điểm của \(AE\), \(I\) là giao điểm của \(CE\) và \(AM\). Chứng minh rằng đường thẳng \(KI\) đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(CMI\).
(0,75 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB > AC\), đường trung tuyến \(AM\). Trên cạnh \(AB\) lấy một điểm \(D\) sao cho \(AD > DB\), vẽ đường tròn tâm \(D\) tiếp xúc với cạnh \(BC\) tại \(H\). Từ điểm \(C\) vẽ tiếp tuyến thứ hai \(CE\) của đường tròn tâm \(D\) (\(E\) là tiếp điểm). Gọi \(K\) là trung điểm của \(AE\), \(I\) là giao điểm của \(CE\) và \(AM\). Chứng minh rằng đường thẳng \(KI\) đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(CMI\).
Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026 Lâm Đồng !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(\widehat {EAI} = \widehat {EAD} + \widehat {DAI}\).
Mặc khác ta dễ dàng chứng minh được 5 điểm \(A,E,D,H,C\) cùng thuộc một đường tròn.
Do đó \(\widehat {EAD} = \widehat {ECD}\) mà \(\widehat {ECD} = \widehat {DCB}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\widehat {EAD} = \widehat {DCB}\).
Ta lại có, \(\widehat {DAI} = \widehat {DBC}\).
Vậy \(\widehat {EAI} = \widehat {DCB} + \widehat {DBC} = \widehat {ADC}\) mà \(\widehat {AEI} = \widehat {ADC}\) (do \(AEDC\) nội tiếp)
Suy ra \(\widehat {EAI} = \widehat {AEI}\) nên \(\Delta AIE\) cân tại \(I\)
Mà \(IK\) là trung tuyến nên \(IK\) đồng thời là phân giác \(\widehat {AIE}\)
Lại có \(\widehat {AIE}\) và \(\widehat {CIM}\) ở vị trí đối đỉnh nên tia là phân giác \(\widehat {CIM}\) sẽ trùng với \(IK\)
Hay nói cách khác \(IK\) đi qua tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta CMI\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] theo tỉ số lượng giác, \(\sin B\) bằng cạnh đối chia cạnh huyền, tức là \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\).
b) Đúng. Xét tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\] (do \(AH \bot BC\)), \(\sin B\) bằng cạnh đối chia cạnh huyền trong tam giác này, tức là \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\).
c) Sai. Ta có \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\) nên \(\sin 60^\circ = \frac{{10}}{{BC}}\)
Suy ra \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{10}}{{BC}}\) nên \(BC = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\) cm.
Khẳng định \(BC = 20\sqrt 3 \) cm là sai.
d) Đúng. Trong tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] đường cao \[AH,\] ta có hệ thức liên hệ giữa diện tích và các cạnh: \(\frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot AC\).
Ta có \(AB = BC \cdot \cos B = \left( {\frac{{20\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot \cos 60^\circ = \left( {\frac{{20\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\) cm.
Vậy \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{\left( {\frac{{10\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot 10}}{{\frac{{20\sqrt 3 }}{3}}} = \frac{{100\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{3}{{20\sqrt 3 }} = 5\) cm.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Giải hệ phương trình thứ nhất để tìm \(\left( {x;y} \right)\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y = 3}\\{x + y = 1}\end{array}} \right.\)
Trừ vế theo vế hai phương trình, ta được: \(2x - x = 3 - 1\) suy ra \(x = 2\).
Thay \(x = 2\) vào phương trình thứ hai: \(2 + y = 1\) suy ra \(y = - 1\).
Vậy nghiệm chung là \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - 1} \right)\).
Do hai hệ phương trình có cùng một nghiệm, nên cặp số \[\left( {2;\,\, - 1} \right)\] cũng là nghiệm của hệ phương trình thứ hai.
Thay nghiệm này vào phương trình đầu tiên của hệ thứ hai \(ax + 2y = 0\) ta được:
\(a \cdot 2 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 0\) suy ra \(2a - 2 = 0\) hay \(2a = 2\) nên \(a = 1.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập