(2,0 điểm)

a) Giải phương trình \(2{x^2} + 3x - 2 = 0\).

b) Giải bất phương trình \(2 \cdot \left( {x - 3} \right) \ge 8\).

c) Sau khi sắp xếp đơn vị hành chính (tháng 7/2025), tỉnh \(A\) có 124 đơn vị hành chính cấp xã (bao gồm xã và phường). Tháng 6/2026, cơ quan có thẩm quyền đã ban hành quyết định công nhận 16 xã thành phường nên hiện tại số xã còn lại bằng tổng của 2 lần tất cả số phường với 19 đơn vị. Hỏi ngay sau khi sắp xếp đơn vị hành chính (tháng 7/2025), tỉnh \(A\) có bao nhiêu xã, bao nhiêu phường?

a) Vì \[AH\] là đường cao nên \(AH \bot BC\) suy ra \(\widehat {AHB} = 90^\circ \).

Vì \(BE \bot AD\) nên \(\widehat {AEB} = 90^\circ \).

Do đó \(\widehat {AHB} = \widehat {AEB} = 90^\circ \) nên hai điểm \[H\] và \[E\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[AB.\]

Vậy tứ giác \[ABHE\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AB.\]

b) ¬ Chứng minh \(HB.AC = AH.CD\)

Góc \(\widehat {ACD}\) chắn nửa đường tròn đường kính \[AD\] nên là góc vuông.

Xét \[\Delta AHB\] (vuông tại H) và \(\Delta ACD\) (vuông tại C) có: \(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\) vì cùng chắn cung \[AC.\]

Do đó $\Delta AHB\backsim \Delta ACD$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{HB}}{{CD}}\) nên \(HB \cdot AC = AH \cdot CD\).

¬ Chứng minh \(HE\) vuông góc với \(AC\)

Vì \[ABHE\] là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {ABH} + \widehat {AEH} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối)

Mà \(\widehat {HED} + \widehat {AEH} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {ABH} = \widehat {HED}.\)

Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (chứng minh trên) suy ra \(\widehat {EDC} = \widehat {HED}.\)

Vì \(\widehat {EDC} = \widehat {HED}\) và hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên \(HE\,{\rm{//}}\,DC\).

Mà \(AC \bot CD\) nên \[HE \bot AC.\]

c) Gọi \[I\] là trung điểm cạnh \[AB.\] Trong hai tam giác vuông \[AHB\] và \[AEB\]có \[HI\]và \[EI\]là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, nên \(IH = IE = \frac{{AB}}{2}\).

Suy ra tam giác \[IHE\] là tam giác cân tại đỉnh \[I.\]

Đoạn thẳng \[IM\] nối hai trung điểm của tam giác \[ABC\] nên là đường trung bình, suy ra \[IM\,{\rm{//}}\,AC\]

Vì \[HE \bot AC\] nên \[IM \bot HE.\]

Trong tam giác cân \[IHE,\] đường cao \[IM\] xuất phát từ đỉnh cân đồng thời là đường trung trực của cạnh đáy \[HE.\] Điểm \[M\] nằm trên đường trung trực nên cách đều hai đầu mút, ta có \(MH = ME\).

Chứng minh tương tự ý a), ta có tứ giác \[AHFC\] nội tiếp đường tròn tâm \[K\] (trung điểm \[AC).\] \[KM\] là đường trung bình song song với \[AB.\]

Chứng minh tương tự ý b) ta có \[HF \bot AB,\] suy ra \[KM \bot HF.\]

Đường cao \[KM\] của tam giác cân \[KHF\] là trung trực của \[HF,\] từ đó \(MH = MF\).

Vậy \(MH = ME = MF\).

a) Tổng số lượng món ngon trong danh sách là 15 món (mỗi địa phương có 5 món).

Biến cố A là lấy được món của địa phương X, có 5 kết quả thuận lợi. Xác suất \(P\left( A \right) = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}\).

Biến cố B là lấy được món của địa phương Y hoặc Z, tổng cộng có \(5 + 5 = 10\) kết quả thuận lợi. Xác suất \(P\left( B \right) = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}\).

b) Biến cố C yêu cầu chọn 2 món nằm trong cùng một địa phương.

Nếu 2 món cùng thuộc địa phương X, số cách chọn là \(\frac{{5 \cdot 4}}{2} = 10\) kết quả.

Lập luận tương tự, nếu 2 món cùng thuộc Y ta có 10 kết quả, và cùng thuộc Z cũng có 10 kết quả.

Cộng tất cả lại, số kết quả thuận lợi của biến cố C là \(10 + 10 + 10 = 30\) kết quả.