(1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x - 6 = 0\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(K = \left( {{x_1} + \frac{1}{{{x_1}}}} \right)\left( {\frac{{4{x_2} + 7}}{{{x_2}}}} \right)\).

a) \(A = \sqrt 3  \cdot \left( {7\sqrt 3  - \sqrt {27}  + 2\sqrt {48} } \right) = \sqrt 3 \left( {7\sqrt 3  - 3\sqrt 3  + 8\sqrt 3 } \right) = \sqrt 3  \cdot 12\sqrt 3  = 36\).

b) \(B = \frac{{\sqrt {21}  - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}:\frac{1}{{\sqrt {8 + 2\sqrt 7 } }} = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 7  - 1} \right)}}{{\sqrt 3 }}:\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 7  + 1} \right)}^2}} }}\)

        \( = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 7  - 1} \right)}}{{\sqrt 3 }} \cdot \left( {\sqrt 7  + 1} \right) = \left( {\sqrt 7  - 1} \right)\left( {\sqrt 7  + 1} \right) = 6.\)

c) Với \[x > 0,x \ne 1\] ta có:

\(C = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right)\)

\[ = \left[ {\frac{{\sqrt x  \cdot \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right] \cdot \left[ {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right]\]

\[ = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 1 + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\( = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\).

Như vậy, với \[x > 0,x \ne 1\] thì \(C = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}.\)

Để \(C < 0\) thì \(\sqrt x  - 1 < 0\), hay \(x < 1\).

Kết hợp điều kiện xác định, ta có là \(0 < x < 1\).

a) Phương trình đã cho có \(\Delta  = {3^2} - 4 \cdot 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 25 > 0\).

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{1}{2}\); \({x_2} =  - 2\).

b) Giải bất phương trình:

\(2 \cdot \left( {x - 3} \right) \ge 8\)

\(x - 3 \ge 4\)

\(x \ge 7\).

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: \(x \ge 7\).

c) Gọi số xã là \(x\), số phường là \(y\) \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*};\,\,x > 16} \right).\)

Tổng số đơn vị ban đầu là 124, ta lập được phương trình: \(x + y = 124\).

Sau khi chuyển đổi, số xã giảm đi 16 (còn \(x - 16\)) và số phường tăng thêm 16 (thành \(y + 16).\)

Theo đề bài, số xã lúc này bằng tổng của 2 lần số phường với 19 nên ta có phương trình:

\(x - 16 = 2\left( {y + 16} \right) + 19\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 124}\\{x - 16 = 2\left( {y + 16} \right) + 19}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 124}\\{x - 16 = 2\left( {y + 16} \right) + 19}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 124}\\{x - 2y = 67}\end{array}} \right.\)

Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai theo từng vế, ta có \[3y = 57\], tính được \(y = 19\).

Thay \(y = 19\) vào phương trình ban đầu ta được \(x = 105\). Hai kết quả đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy tỉnh A có 105 xã và 19 phường.