(1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x - 6 = 0\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(K = \left( {{x_1} + \frac{1}{{{x_1}}}} \right)\left( {\frac{{4{x_2} + 7}}{{{x_2}}}} \right)\).

a) Vì \[AH\] là đường cao nên \(AH \bot BC\) suy ra \(\widehat {AHB} = 90^\circ \).

Vì \(BE \bot AD\) nên \(\widehat {AEB} = 90^\circ \).

Do đó \(\widehat {AHB} = \widehat {AEB} = 90^\circ \) nên hai điểm \[H\] và \[E\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[AB.\]

Vậy tứ giác \[ABHE\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AB.\]

b) ¬ Chứng minh \(HB.AC = AH.CD\)

Góc \(\widehat {ACD}\) chắn nửa đường tròn đường kính \[AD\] nên là góc vuông.

Xét \[\Delta AHB\] (vuông tại H) và \(\Delta ACD\) (vuông tại C) có: \(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\) vì cùng chắn cung \[AC.\]

Do đó $\Delta AHB\backsim \Delta ACD$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{HB}}{{CD}}\) nên \(HB \cdot AC = AH \cdot CD\).

¬ Chứng minh \(HE\) vuông góc với \(AC\)

Vì \[ABHE\] là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {ABH} + \widehat {AEH} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối)

Mà \(\widehat {HED} + \widehat {AEH} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {ABH} = \widehat {HED}.\)

Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (chứng minh trên) suy ra \(\widehat {EDC} = \widehat {HED}.\)

Vì \(\widehat {EDC} = \widehat {HED}\) và hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên \(HE\,{\rm{//}}\,DC\).

Mà \(AC \bot CD\) nên \[HE \bot AC.\]

c) Gọi \[I\] là trung điểm cạnh \[AB.\] Trong hai tam giác vuông \[AHB\] và \[AEB\]có \[HI\]và \[EI\]là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, nên \(IH = IE = \frac{{AB}}{2}\).

Suy ra tam giác \[IHE\] là tam giác cân tại đỉnh \[I.\]

Đoạn thẳng \[IM\] nối hai trung điểm của tam giác \[ABC\] nên là đường trung bình, suy ra \[IM\,{\rm{//}}\,AC\]

Vì \[HE \bot AC\] nên \[IM \bot HE.\]

Trong tam giác cân \[IHE,\] đường cao \[IM\] xuất phát từ đỉnh cân đồng thời là đường trung trực của cạnh đáy \[HE.\] Điểm \[M\] nằm trên đường trung trực nên cách đều hai đầu mút, ta có \(MH = ME\).

Chứng minh tương tự ý a), ta có tứ giác \[AHFC\] nội tiếp đường tròn tâm \[K\] (trung điểm \[AC).\] \[KM\] là đường trung bình song song với \[AB.\]

Chứng minh tương tự ý b) ta có \[HF \bot AB,\] suy ra \[KM \bot HF.\]

Đường cao \[KM\] của tam giác cân \[KHF\] là trung trực của \[HF,\] từ đó \(MH = MF\).

Vậy \(MH = ME = MF\).

a) Phương trình đã cho có \(\Delta  = {3^2} - 4 \cdot 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 25 > 0\).

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{1}{2}\); \({x_2} =  - 2\).

b) Giải bất phương trình:

\(2 \cdot \left( {x - 3} \right) \ge 8\)

\(x - 3 \ge 4\)

\(x \ge 7\).

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: \(x \ge 7\).

c) Gọi số xã là \(x\), số phường là \(y\) \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*};\,\,x > 16} \right).\)

Tổng số đơn vị ban đầu là 124, ta lập được phương trình: \(x + y = 124\).

Sau khi chuyển đổi, số xã giảm đi 16 (còn \(x - 16\)) và số phường tăng thêm 16 (thành \(y + 16).\)

Theo đề bài, số xã lúc này bằng tổng của 2 lần số phường với 19 nên ta có phương trình:

\(x - 16 = 2\left( {y + 16} \right) + 19\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 124}\\{x - 16 = 2\left( {y + 16} \right) + 19}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 124}\\{x - 16 = 2\left( {y + 16} \right) + 19}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 124}\\{x - 2y = 67}\end{array}} \right.\)

Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai theo từng vế, ta có \[3y = 57\], tính được \(y = 19\).

Thay \(y = 19\) vào phương trình ban đầu ta được \(x = 105\). Hai kết quả đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy tỉnh A có 105 xã và 19 phường.