(1,0 điểm) Bạn Mai để trên bàn một chiếc cốc hình trụ chứa đầy nước, chiếc cốc có chiều cao bên trong bằng 3 lần đường kính bên trong của đáy. Cho biết bán kính bên trong của mặt đáy cốc hình trụ là \(r = 6\) cm.

a) Tính thể tích nước trong cốc.

b) Bạn Mai lần lượt thả vào cốc một viên bi hình cầu và một khối hình nón đều bằng thủy tinh. Đường kính viên bi và đường kính mặt đáy của khối hình nón đều bằng đường kính mặt đáy bên trong của cốc nước. Biết tâm của hình cầu và đỉnh của hình nón nằm trên đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy cốc. Viên bi chạm đáy của cốc nước, đỉnh của hình nón tiếp xúc với điểm cao nhất của viên bi và mặt đáy của khối hình nón trùng khít với mặt trên của miệng cốc (các vật được coi là đặt cố định như hình vẽ). Người ta thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Hãy tính thể tích nước tràn ra ngoài sau khi thả viên bi và khối hình nón vào cốc nước.

a) Lập bảng giá trị của hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\):

Biểu diễn các điểm \(\left( { - 4;\,\,4} \right);\,\,\left( { - 2;\,\,1} \right);\,\,\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\left( {2;\,\,1} \right);\,\,\left( {4;\,\,4} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) và nối chúng lại ta được đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\) như hình vẽ dưới đây:

b) Phương trình có hệ số \(a\) và \(c\) trái dấu nên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lí Viète, ta có tổng hai nghiệm \({x_1} + {x_2} = 4\) và tích hai nghiệm \({x_1}{x_2} =  - 6\).

Vì \({x_1}\) là một nghiệm nên nó phải thỏa mãn phương trình, tức là \(x_1^2 - 4{x_1} - 6 = 0\), suy ra \(x_1^2 = 4{x_1} + 6\).

Thay giá trị \(x_1^2\) này vào biểu thức K:

\(K = \left( {{x_1} + \frac{1}{{{x_1}}}} \right)\left( {\frac{{4{x_2} + 7}}{{{x_2}}}} \right) = \frac{{x_1^2 + 1}}{{{x_1}}} \cdot \frac{{4{x_2} + 7}}{{{x_2}}}\)

\( = \frac{{4{x_1} + 6 + 1}}{{{x_1}}} \cdot \frac{{4{x_2} + 7}}{{{x_2}}} = \frac{{\left( {4{x_1} + 7} \right)\left( {4{x_2} + 7} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\( = \frac{{16{x_1}{x_2} + 28{x_1} + 28{x_2} + 49}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\( = \frac{{16{x_1}{x_2} + 28\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 49}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\( = \frac{{16 \cdot  - 6 + 28 \cdot 4 + 49}}{{ - 6}} = \frac{{ - 96 + 112 + 49}}{{ - 6}} =  - \frac{{65}}{6}\).

a) \(A = \sqrt 3  \cdot \left( {7\sqrt 3  - \sqrt {27}  + 2\sqrt {48} } \right) = \sqrt 3 \left( {7\sqrt 3  - 3\sqrt 3  + 8\sqrt 3 } \right) = \sqrt 3  \cdot 12\sqrt 3  = 36\).

b) \(B = \frac{{\sqrt {21}  - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}:\frac{1}{{\sqrt {8 + 2\sqrt 7 } }} = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 7  - 1} \right)}}{{\sqrt 3 }}:\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 7  + 1} \right)}^2}} }}\)

        \( = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 7  - 1} \right)}}{{\sqrt 3 }} \cdot \left( {\sqrt 7  + 1} \right) = \left( {\sqrt 7  - 1} \right)\left( {\sqrt 7  + 1} \right) = 6.\)

c) Với \[x > 0,x \ne 1\] ta có:

\(C = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right)\)

\[ = \left[ {\frac{{\sqrt x  \cdot \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right] \cdot \left[ {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right]\]

\[ = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 1 + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\( = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\).

Như vậy, với \[x > 0,x \ne 1\] thì \(C = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}.\)

Để \(C < 0\) thì \(\sqrt x  - 1 < 0\), hay \(x < 1\).

Kết hợp điều kiện xác định, ta có là \(0 < x < 1\).