(2,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn tâm \(O\) \(\left( {AB < AC} \right).\) Kẻ đường cao \(AH\) của \(\Delta ABC\) \((H\) thuộc \(BC).\) Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Từ \(B\) và \(C\) lần lượt kẻ \(BE\), \(CF\) vuông góc với \(AD\) tại \(E\) và \(F.\)

a) Chứng minh tứ giác \(ABHE\) nội tiếp được một đường tròn.

b) Chứng minh \(HB.AC = AH.CD\) và \(HE\) vuông góc với \(AC\).

c) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Chứng minh \(MH = ME = MF\).

a) \(A = \sqrt 3  \cdot \left( {7\sqrt 3  - \sqrt {27}  + 2\sqrt {48} } \right) = \sqrt 3 \left( {7\sqrt 3  - 3\sqrt 3  + 8\sqrt 3 } \right) = \sqrt 3  \cdot 12\sqrt 3  = 36\).

b) \(B = \frac{{\sqrt {21}  - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}:\frac{1}{{\sqrt {8 + 2\sqrt 7 } }} = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 7  - 1} \right)}}{{\sqrt 3 }}:\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 7  + 1} \right)}^2}} }}\)

        \( = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 7  - 1} \right)}}{{\sqrt 3 }} \cdot \left( {\sqrt 7  + 1} \right) = \left( {\sqrt 7  - 1} \right)\left( {\sqrt 7  + 1} \right) = 6.\)

c) Với \[x > 0,x \ne 1\] ta có:

\(C = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right)\)

\[ = \left[ {\frac{{\sqrt x  \cdot \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right] \cdot \left[ {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right]\]

\[ = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 1 + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\( = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\).

Như vậy, với \[x > 0,x \ne 1\] thì \(C = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}.\)

Để \(C < 0\) thì \(\sqrt x  - 1 < 0\), hay \(x < 1\).

Kết hợp điều kiện xác định, ta có là \(0 < x < 1\).

a) Lập bảng giá trị của hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\):

Biểu diễn các điểm \(\left( { - 4;\,\,4} \right);\,\,\left( { - 2;\,\,1} \right);\,\,\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\left( {2;\,\,1} \right);\,\,\left( {4;\,\,4} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) và nối chúng lại ta được đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\) như hình vẽ dưới đây:

b) Phương trình có hệ số \(a\) và \(c\) trái dấu nên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lí Viète, ta có tổng hai nghiệm \({x_1} + {x_2} = 4\) và tích hai nghiệm \({x_1}{x_2} =  - 6\).

Vì \({x_1}\) là một nghiệm nên nó phải thỏa mãn phương trình, tức là \(x_1^2 - 4{x_1} - 6 = 0\), suy ra \(x_1^2 = 4{x_1} + 6\).

Thay giá trị \(x_1^2\) này vào biểu thức K:

\(K = \left( {{x_1} + \frac{1}{{{x_1}}}} \right)\left( {\frac{{4{x_2} + 7}}{{{x_2}}}} \right) = \frac{{x_1^2 + 1}}{{{x_1}}} \cdot \frac{{4{x_2} + 7}}{{{x_2}}}\)

\( = \frac{{4{x_1} + 6 + 1}}{{{x_1}}} \cdot \frac{{4{x_2} + 7}}{{{x_2}}} = \frac{{\left( {4{x_1} + 7} \right)\left( {4{x_2} + 7} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\( = \frac{{16{x_1}{x_2} + 28{x_1} + 28{x_2} + 49}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\( = \frac{{16{x_1}{x_2} + 28\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 49}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\( = \frac{{16 \cdot  - 6 + 28 \cdot 4 + 49}}{{ - 6}} = \frac{{ - 96 + 112 + 49}}{{ - 6}} =  - \frac{{65}}{6}\).