(1,0 điểm)

ĐẶC SẢN VĨNH LONG QUÊ TÔI

Nhằm quảng bá du lịch tỉnh Vĩnh Long, Ban Tổ chức một lễ hội ẩm thực đã lựa chọn 15 món ngon tiêu biểu của ba địa phương như sau:

⦁ Địa phương \(X\): Tàu hủ kì Mỹ Hòa, khoai lang Bình Tân, bánh tráng nem Cù lao Lục Sĩ Thành, cam sành Tam Bình, bưởi năm roi Bình Minh.

⦁ Địa phương \(Y\): Kẹo dừa Thanh Long, bánh tráng Mỹ Lồng, bánh phồng Sơn Đốc, mứt dừa Bến Tre, bánh xèo ốc gạo Chợ Lách.

⦁ Địa phương \(Z\): Bún nước lèo Trà Vinh, bánh tét Trà Cuôn, dừa sáp Cầu Kè, bánh canh Bến Cỏ, măng cụt Tân Qui.

a) Chọn ngẫu nhiên một món ngon trong 15 món trên. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

A: “Món ngon được chọn thuộc địa phương \(X\)”.

B: “Món ngon được chọn thuộc địa phương \(Y\) hoặc địa phương \(Z\)”.

b) Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai món ngon khác nhau trong số 15 món trên để đưa vào Mâm tiệc danh dự của lễ hội. Hãy xác định số kết quả thuận lợi của biến cố: C: “Hai món ngon được chọn cùng thuộc một địa phương”.

a) Lập bảng giá trị của hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\):

Biểu diễn các điểm \(\left( { - 4;\,\,4} \right);\,\,\left( { - 2;\,\,1} \right);\,\,\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\left( {2;\,\,1} \right);\,\,\left( {4;\,\,4} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) và nối chúng lại ta được đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\) như hình vẽ dưới đây:

b) Phương trình có hệ số \(a\) và \(c\) trái dấu nên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lí Viète, ta có tổng hai nghiệm \({x_1} + {x_2} = 4\) và tích hai nghiệm \({x_1}{x_2} =  - 6\).

Vì \({x_1}\) là một nghiệm nên nó phải thỏa mãn phương trình, tức là \(x_1^2 - 4{x_1} - 6 = 0\), suy ra \(x_1^2 = 4{x_1} + 6\).

Thay giá trị \(x_1^2\) này vào biểu thức K:

\(K = \left( {{x_1} + \frac{1}{{{x_1}}}} \right)\left( {\frac{{4{x_2} + 7}}{{{x_2}}}} \right) = \frac{{x_1^2 + 1}}{{{x_1}}} \cdot \frac{{4{x_2} + 7}}{{{x_2}}}\)

\( = \frac{{4{x_1} + 6 + 1}}{{{x_1}}} \cdot \frac{{4{x_2} + 7}}{{{x_2}}} = \frac{{\left( {4{x_1} + 7} \right)\left( {4{x_2} + 7} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\( = \frac{{16{x_1}{x_2} + 28{x_1} + 28{x_2} + 49}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\( = \frac{{16{x_1}{x_2} + 28\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 49}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\( = \frac{{16 \cdot  - 6 + 28 \cdot 4 + 49}}{{ - 6}} = \frac{{ - 96 + 112 + 49}}{{ - 6}} =  - \frac{{65}}{6}\).

a) \(A = \sqrt 3  \cdot \left( {7\sqrt 3  - \sqrt {27}  + 2\sqrt {48} } \right) = \sqrt 3 \left( {7\sqrt 3  - 3\sqrt 3  + 8\sqrt 3 } \right) = \sqrt 3  \cdot 12\sqrt 3  = 36\).

b) \(B = \frac{{\sqrt {21}  - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}:\frac{1}{{\sqrt {8 + 2\sqrt 7 } }} = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 7  - 1} \right)}}{{\sqrt 3 }}:\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 7  + 1} \right)}^2}} }}\)

        \( = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 7  - 1} \right)}}{{\sqrt 3 }} \cdot \left( {\sqrt 7  + 1} \right) = \left( {\sqrt 7  - 1} \right)\left( {\sqrt 7  + 1} \right) = 6.\)

c) Với \[x > 0,x \ne 1\] ta có:

\(C = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right)\)

\[ = \left[ {\frac{{\sqrt x  \cdot \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right] \cdot \left[ {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right]\]

\[ = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 1 + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\( = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\).

Như vậy, với \[x > 0,x \ne 1\] thì \(C = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}.\)

Để \(C < 0\) thì \(\sqrt x  - 1 < 0\), hay \(x < 1\).

Kết hợp điều kiện xác định, ta có là \(0 < x < 1\).