(1,0 điểm)

ĐẶC SẢN VĨNH LONG QUÊ TÔI

Nhằm quảng bá du lịch tỉnh Vĩnh Long, Ban Tổ chức một lễ hội ẩm thực đã lựa chọn 15 món ngon tiêu biểu của ba địa phương như sau:

⦁ Địa phương \(X\): Tàu hủ kì Mỹ Hòa, khoai lang Bình Tân, bánh tráng nem Cù lao Lục Sĩ Thành, cam sành Tam Bình, bưởi năm roi Bình Minh.

⦁ Địa phương \(Y\): Kẹo dừa Thanh Long, bánh tráng Mỹ Lồng, bánh phồng Sơn Đốc, mứt dừa Bến Tre, bánh xèo ốc gạo Chợ Lách.

⦁ Địa phương \(Z\): Bún nước lèo Trà Vinh, bánh tét Trà Cuôn, dừa sáp Cầu Kè, bánh canh Bến Cỏ, măng cụt Tân Qui.

a) Chọn ngẫu nhiên một món ngon trong 15 món trên. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

A: “Món ngon được chọn thuộc địa phương \(X\)”.

B: “Món ngon được chọn thuộc địa phương \(Y\) hoặc địa phương \(Z\)”.

b) Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai món ngon khác nhau trong số 15 món trên để đưa vào Mâm tiệc danh dự của lễ hội. Hãy xác định số kết quả thuận lợi của biến cố: C: “Hai món ngon được chọn cùng thuộc một địa phương”.

a) Vì \[AH\] là đường cao nên \(AH \bot BC\) suy ra \(\widehat {AHB} = 90^\circ \).

Vì \(BE \bot AD\) nên \(\widehat {AEB} = 90^\circ \).

Do đó \(\widehat {AHB} = \widehat {AEB} = 90^\circ \) nên hai điểm \[H\] và \[E\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[AB.\]

Vậy tứ giác \[ABHE\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AB.\]

b) ¬ Chứng minh \(HB.AC = AH.CD\)

Góc \(\widehat {ACD}\) chắn nửa đường tròn đường kính \[AD\] nên là góc vuông.

Xét \[\Delta AHB\] (vuông tại H) và \(\Delta ACD\) (vuông tại C) có: \(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\) vì cùng chắn cung \[AC.\]

Do đó $\Delta AHB\backsim \Delta ACD$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{HB}}{{CD}}\) nên \(HB \cdot AC = AH \cdot CD\).

¬ Chứng minh \(HE\) vuông góc với \(AC\)

Vì \[ABHE\] là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {ABH} + \widehat {AEH} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối)

Mà \(\widehat {HED} + \widehat {AEH} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {ABH} = \widehat {HED}.\)

Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (chứng minh trên) suy ra \(\widehat {EDC} = \widehat {HED}.\)

Vì \(\widehat {EDC} = \widehat {HED}\) và hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên \(HE\,{\rm{//}}\,DC\).

Mà \(AC \bot CD\) nên \[HE \bot AC.\]

c) Gọi \[I\] là trung điểm cạnh \[AB.\] Trong hai tam giác vuông \[AHB\] và \[AEB\]có \[HI\]và \[EI\]là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, nên \(IH = IE = \frac{{AB}}{2}\).

Suy ra tam giác \[IHE\] là tam giác cân tại đỉnh \[I.\]

Đoạn thẳng \[IM\] nối hai trung điểm của tam giác \[ABC\] nên là đường trung bình, suy ra \[IM\,{\rm{//}}\,AC\]

Vì \[HE \bot AC\] nên \[IM \bot HE.\]

Trong tam giác cân \[IHE,\] đường cao \[IM\] xuất phát từ đỉnh cân đồng thời là đường trung trực của cạnh đáy \[HE.\] Điểm \[M\] nằm trên đường trung trực nên cách đều hai đầu mút, ta có \(MH = ME\).

Chứng minh tương tự ý a), ta có tứ giác \[AHFC\] nội tiếp đường tròn tâm \[K\] (trung điểm \[AC).\] \[KM\] là đường trung bình song song với \[AB.\]

Chứng minh tương tự ý b) ta có \[HF \bot AB,\] suy ra \[KM \bot HF.\]

Đường cao \[KM\] của tam giác cân \[KHF\] là trung trực của \[HF,\] từ đó \(MH = MF\).

Vậy \(MH = ME = MF\).

a) Phương trình đã cho có \(\Delta  = {3^2} - 4 \cdot 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 25 > 0\).

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{1}{2}\); \({x_2} =  - 2\).

b) Giải bất phương trình:

\(2 \cdot \left( {x - 3} \right) \ge 8\)

\(x - 3 \ge 4\)

\(x \ge 7\).

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: \(x \ge 7\).

c) Gọi số xã là \(x\), số phường là \(y\) \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*};\,\,x > 16} \right).\)

Tổng số đơn vị ban đầu là 124, ta lập được phương trình: \(x + y = 124\).

Sau khi chuyển đổi, số xã giảm đi 16 (còn \(x - 16\)) và số phường tăng thêm 16 (thành \(y + 16).\)

Theo đề bài, số xã lúc này bằng tổng của 2 lần số phường với 19 nên ta có phương trình:

\(x - 16 = 2\left( {y + 16} \right) + 19\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 124}\\{x - 16 = 2\left( {y + 16} \right) + 19}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 124}\\{x - 16 = 2\left( {y + 16} \right) + 19}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 124}\\{x - 2y = 67}\end{array}} \right.\)

Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai theo từng vế, ta có \[3y = 57\], tính được \(y = 19\).

Thay \(y = 19\) vào phương trình ban đầu ta được \(x = 105\). Hai kết quả đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy tỉnh A có 105 xã và 19 phường.