Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = \(\frac{{x + 9}}{{x + 1}}\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x − 2y + 2 = 0. Khi đó:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số là D = ℝ\{–1}

f(x) – f(x₀) = \(\frac{{x + 9}}{{x + 1}} - \frac{{{x_0} + 9}}{{{x_0} + 1}} = \frac{{\left( {x + 9} \right)\left( {{x_0} + 1} \right) - \left( {{x_0} + 9} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}}\) = \(\frac{{ - 8\left( {x - {x_0}} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}}\)

Lập tỉ số: \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{{ - 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}}\)

⇒ y'(x₀) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}} = \frac{{ - 8}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\)

Đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0 ⇔ y = \(\frac{1}{2}\)x + 1 có hệ số góc k_d = \(\frac{1}{2}\)

Do tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = –1 : \(\frac{1}{2}\) = –2

Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm, ta có:

y′(x₀) = –2 ⇔ \(\frac{{ - 8}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\) = –2 ⇔ (x₀ + 1)² = 4 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 3\end{array} \right.\)

Với x₀ = 1 ⇒ y₀ = 5, phương trình tiếp tuyến y – 5 = –2(x – 1) ⇔ y = –2x + 7

Với x₀ = –3 ⇒ y₀ = –3, phương trình tiếp tuyến y – (–3) = –2[x – (–3)] ⇔ y = –2x – 9

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là y = –2x + 7 và y = –2x – 9.

b) Đúng. Đường thẳng d có hệ số góc k_d = \(\frac{1}{2}\)

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên hệ số góc k của tiếp tuyến thỏa mãn:

k ⋅ k_d = –1 ⇔ k ⋅ \(\frac{1}{2}\) = –1 ⇔ k = –2

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bằng –2.

c) Đúng. Từ câu a, ta có hai phương trình tiếp tuyến là y = –2x + 7 và y = –2x – 9

Thay A(1; 5) vào phương trình tiếp tuyến y = –2x + 7, ta được:

5 = –2 ⋅ 1 + 7 ⇔ 5 = 5 (luôn đúng)

Do đó, tiếp tuyến y = –2x + 7 đi qua điểm A(1; 5).

d) Sai. Thay B(1; –7) vào hai phương trình tiếp tuyến tìm được ở câu a:

Thay vào y = –2x + 7: –7 = –2 ⋅ 1 + 7 ⇔ –7 = 5 (sai)

Thay vào y = –2x – 9: –7 = –2 ⋅ 1 – 9 ⇔ –7 = –11 (sai)

Vậy không có phương trình tiếp tuyến nào đi qua điểm B(1; –7).