Cho số thực \(m = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\sqrt {ab} \) với \(a,b > 1\) và \(P = {\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b} \right)^2} + 54{\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}a\). Tìm giá trị của \(m\) để biểu thức \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất.
\(m = 5\).
\(m = 3.\)
\(m = 4.\)
\(m = 2.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: \(m = 2\).
Ta có \(m = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\sqrt {ab} = \frac{1}{2}\left( {1 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b} \right) > \frac{1}{2}\) với \(a,b > 1\).
\(P = {\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b} \right)^2} + 54{\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}a\)\( = {\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b} \right)^2} + \frac{{54}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b}}\)\( = {\left( {2m - 1} \right)^2} + \frac{{54}}{{2m - 1}} = f\left( m \right)\).
Có \(f'\left( m \right) = \frac{{4{{\left( {2m - 1} \right)}^3} - 108}}{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}\);
\(f'\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow m = 2\).
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta có \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất là 27 khi \(m = 2\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án: \(18\).
Có \(f\left( 2 \right) = f\left( {1 + 1} \right) = f\left( 1 \right) + f\left( 1 \right) + 2 = 10\).
Khi đó \(f\left( 3 \right) = f\left( {2 + 1} \right) = f\left( 2 \right) + f\left( 1 \right) + 4 = 18\).
Câu 3
\(90^\circ \).
\(30^\circ \).
\(60^\circ \).
\(45^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{4}.\)
\(0.\)
\(1.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập