Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 17

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C',M\) là trung điểm của \(BB'\). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \vec a,\overrightarrow {CB} = \vec b,\overrightarrow {AA'} = \vec c\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa \(AC\) và \(DA'\) bằng

Số hoàn hảo là số tự nhiên bằng tổng các ước số dương của chính nó, không bao gồm ước số là chính số đó. Mỗi phát biểu dưới đây đúng hay sai?

Cho hình lăng trụ đứng \({\rm{ABC}}{\rm{.A'B'C'}}\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a,{\rm{\;A'B}}\) tạo với mặt phẳng đáy góc \(60^\circ \). Thể tích khối lăng trụ \({\rm{ABC}}{\rm{.A'B'C'}}\) bằng

Cho hình hộp\(\;ABCD.A'B'C'D'\) có\(\;A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right),D\left( {1; - 1;1} \right),C'\left( {4;5; - 5} \right)\). Tìm tọa độ đỉnh \(A'\) của hình hộp.

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 quyển sách lên kệ sách theo thứ tự?

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}} + {x^2}\) là:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x\).

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho hàm số \(y = g\left( x \right)\) có đồ thị của hàm số đạo hàm \(y = g'\left( x \right)\) như hình vẽ

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 1;2} \right),B\left( {0;1;0} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là

Tìm \(a\) để các hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2a{\rm{\;khi\;}}x < 0}\\{{x^2} + x + 1{\rm{\;khi\;}}x \ge 0}\end{array}} \right.\) liên tục tại \(x = 0\)?

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa $\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{f\left(x\right)-2}{x-1}=3$. Khi đó \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} \frac{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - 3f\left( x \right) + 2}}{{2{x^2} - 5x + 3}}\) bằng ___.

Cho số thực \(m = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\sqrt {ab} \) với \(a,b > 1\) và \(P = {\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b} \right)^2} + 54{\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}a\). Tìm giá trị của \(m\) để biểu thức \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;8} \right]\) như hình vẽ

Trên \(\left[ {0;8} \right]\) diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) và trục \(Ox\)lần lượt là 15; 8; 3 được thể hiện trên hình vẽ.

Tích phân \(\int\limits_0^8 {f'\left( x \right)dx} \) bằng ___.

Biết \(f\left( 0 \right) = 10\), giá trị của \(f\left( 8 \right)\) bằng ___.

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + 30} \right) - 5} \right] \le 0\)?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho một viên gạch men có dạng hình vuông \(OABC\) như hình vẽ dưới đây.

Sau khi tọa độ hóa ta có \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;1} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( {1;0} \right)\) và hai đường cong trong hình lần lượt là đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) và \(y = \sqrt[3]{x}\) . Tỉ số diện tích của phần tô đậm so với diện tích phần còn lại của hình vuông là __.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) cắt trục \(Ox\) tại ba điểm có hoành độ \(a < b < c\) như hình bên dưới.

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Bác Nam bắt đầu nuôi một tổ ong mật. Theo dõi quá trình phát triển của đàn ong, bác nhận thấy số lượng ong tăng trưởng theo quy luật hàm số mũ. Giả sử số lượng ong (đơn vị: nghìn con) sau \(t\) tháng được tính theo công thức \(n\left( t \right) = 5 \cdot {b^t}\) (trong đó \(b\) là một hằng số dương và \(t\)là thời gian nuôi tính bằng tháng). Biết rằng sau 2 tháng nuôi, bác Nam thống kê được tổ ong có 20 nghìn con. Dựa vào các thông tin trên, mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?