Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Trong một chương trình giao lưu âm nhạc đón tết vui xuân, ban đầu với sự tham dự của 1700 khán giả. Ban tổ chức đã thống kê được số lượng khán giả ở lại sân khấu xem âm nhạc theo thời gian, được mô tả bởi một hàm số liên tục trên \(t \in \left[ {0; + \infty } \right)\): \(f'\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1700 - 400t,}&{0 \le t \le 2}\\{a{{\left( {t - 2} \right)}^2} + b,}&{t > 2}\end{array}} \right.\)

(trong đó \(f'\left( t \right)\) là số khán giả, \(t\) là số giờ kể từ khi chương trình bắt đầu, \(a,b\) là tham số thực, với hàm số \(f\left( t \right)\) mô tả tổng sự hiện diện của khán giả theo thời gian \(t\). Sau 2 giờ 30 phút số lượng khán giả ở lại sân khấu là 875. Từ khi bắt đầu cho đến khi khán giả ra về hết, trung bình mỗi giờ còn ____ khán giả ở lại tham gia chương trình âm nhạc.

Đáp án: Đúng – Sai – Sai.

Phương trình tham số của đường thẳng d qua \(A\left( {10;\;\;3;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2;\; - 2;1} \right)\) là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.{\rm{, }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\]

Ta có độ dài \(AM = vt\).

Vì M thuộc đường thẳng d nên \(M\left( {10 + 2m;3 - 2m;m} \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {AM} = \left( {2m; - 2m;m} \right)\)mà \(\overrightarrow {AM\;} \;\) cùng hướng với véc tơ \(\vec u\) có \(m \ge 0\). Suy ra \(AM = 3m\).

Vậy \(3m = 4,5t\;\) suy ra \(m = 1,5\;t\). Vậy \(\left( {3t + 10;\; - 3t + 3;\;\frac{{3t}}{2}} \right)\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Ta có khi \({x_B} = 550\) tức tà \(3t + 10 = 550\) suy ra \(t = 180\)giây.

Vậy \(AB = vt = 4,5 \cdot 180 = 810\;\left( m \right)\) nên phát biểu thứ hai sai.

Ta có \(\overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {2;\; - 2;1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right):z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {u\;} \cdot \vec n} \right|}}{{\left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec n} \right|}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \alpha \approx 19,4^\circ \) nên phát biểu thứ ba sai.

Đáp án: 8012.

Dựa vào dữ kiện đề bài, ta có:

+) \(P\left( 0 \right) = 800 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 0}}}} = 800 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a}} = 800\)

+) \(P\left( 3 \right) = 6000 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 3}}}} = 6000\)

+ ) Sức chứa của hồ là 8000 con \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P(t) = 8000\)

Khi \(t \to + \infty \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b < 1 \Rightarrow {b^{ - t}} \to + \infty (L)}\\{b > 1 \Rightarrow {b^{ - t}} \to 0(tm)}\end{array} \Rightarrow P(t) \to c} \right.\).

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P(t) = c = 8000\). Mà \(\frac{c}{{1 + a}} = 800 \Leftrightarrow \frac{{8000}}{{1 + a}} = 800 \Rightarrow a = 9\)

Thay vào \(c = 8000\) và \(a = 9\) phương trình \(\frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 3}}}} = 6000\) ta được \(\frac{{8000}}{{1 + 9 \cdot {b^{ - 3}}}} = 6000\)

\( \Leftrightarrow 1 + 9 \cdot {b^{ - 3}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow {b^{ - 3}} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow b = 3\).

Suy ra \(P(t) = \frac{{8000}}{{1 + 9 \cdot {3^{ - t}}}}\). Do đó \(a + b + c = 8012\).