Cho bốn điểm \(A\left( {1; - 1;5} \right),B\left( {0;0;1} \right),C\left( {0;2;1} \right),D\left( {0;3;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(A,B\) và song song với đường thẳng \(CD\) có phương trình là:

Đáp án: 8012.

Dựa vào dữ kiện đề bài, ta có:

+) \(P\left( 0 \right) = 800 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 0}}}} = 800 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a}} = 800\)

+) \(P\left( 3 \right) = 6000 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 3}}}} = 6000\)

+ ) Sức chứa của hồ là 8000 con \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P(t) = 8000\)

Khi \(t \to + \infty \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b < 1 \Rightarrow {b^{ - t}} \to + \infty (L)}\\{b > 1 \Rightarrow {b^{ - t}} \to 0(tm)}\end{array} \Rightarrow P(t) \to c} \right.\).

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P(t) = c = 8000\). Mà \(\frac{c}{{1 + a}} = 800 \Leftrightarrow \frac{{8000}}{{1 + a}} = 800 \Rightarrow a = 9\)

Thay vào \(c = 8000\) và \(a = 9\) phương trình \(\frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 3}}}} = 6000\) ta được \(\frac{{8000}}{{1 + 9 \cdot {b^{ - 3}}}} = 6000\)

\( \Leftrightarrow 1 + 9 \cdot {b^{ - 3}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow {b^{ - 3}} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow b = 3\).

Suy ra \(P(t) = \frac{{8000}}{{1 + 9 \cdot {3^{ - t}}}}\). Do đó \(a + b + c = 8012\).

Đáp án: Đúng – Sai – Sai.

Phương trình tham số của đường thẳng d qua \(A\left( {10;\;\;3;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2;\; - 2;1} \right)\) là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.{\rm{, }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\]

Ta có độ dài \(AM = vt\).

Vì M thuộc đường thẳng d nên \(M\left( {10 + 2m;3 - 2m;m} \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {AM} = \left( {2m; - 2m;m} \right)\)mà \(\overrightarrow {AM\;} \;\) cùng hướng với véc tơ \(\vec u\) có \(m \ge 0\). Suy ra \(AM = 3m\).

Vậy \(3m = 4,5t\;\) suy ra \(m = 1,5\;t\). Vậy \(\left( {3t + 10;\; - 3t + 3;\;\frac{{3t}}{2}} \right)\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Ta có khi \({x_B} = 550\) tức tà \(3t + 10 = 550\) suy ra \(t = 180\)giây.

Vậy \(AB = vt = 4,5 \cdot 180 = 810\;\left( m \right)\) nên phát biểu thứ hai sai.

Ta có \(\overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {2;\; - 2;1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right):z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {u\;} \cdot \vec n} \right|}}{{\left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec n} \right|}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \alpha \approx 19,4^\circ \) nên phát biểu thứ ba sai.