Giải phương trình, bất phương trình sau:

a) \(5\left( {3x - 1} \right) = \left( {2x + 3} \right)\left( {3x - 1} \right)\).

b) \(\frac{{3x - 1}}{{x - 2}} - \frac{{2x - 3}}{{x + 2}} + \frac{{7x - 2}}{{4 - {x^2}}} = 0\).

c) \(\frac{{2x - 11}}{{ - 7}} < \frac{{3x + 5}}{{11}}\).

Gọi \(x\) (triệu đồng) là giá niêm yết máy hút ẩm, \(y\) (triệu đồng) là giá niêm yết quạt cây \(\left( {x,y > 0} \right)\)

• Tổng giá niêm yết là \(20\) triệu: \(x + y = 20\)

• Mức giảm giá: máy hút ẩm giảm \(20\% x = 0,2x\), quạt giảm \(15\% y = 0,15y\).

Tổng tiền giảm là \(3,62\) triệu: \(0,2x + 0,15y = 3,62\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 20}&{(1)}\\{0,2x + 0,15y = 3,62}&{(2)}\end{array}} \right.\)  

Nhân \((2)\) với \(100\), ta được \(20x + 15y = 362\).

Nhân \((1)\) với \(20\), ta được: \(20x + 20y = 400\).

Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất theo vế, ta được:

\(5y = 38\) suy ra \(y = 7,6\).

Thế vào (1), ta được: \(x = 20 - 7,6 = 12,4.\)

Kết luận: Giá niêm yết máy hút ẩm \(12,4\) triệu, quạt cây \(7,6\) triệu.

1. a) Xét tam giác \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] có:

⦁ \[\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}}\], suy ra \[AC = AB.\tan \widehat {ABC} = 5 \cdot \tan 64^\circ  \approx 10,25\] (cm).

⦁ \[\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}},\] suy ra \[BC = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABC}}} = \frac{5}{{\cos 64^\circ }} \approx 11,41\] (cm).

b) Ta có \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\] nên \[AB.AC = AH.BC\]

\[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] có: \[\sin \widehat {ABC} = \frac{{AH}}{{AB}}\]

Suy ra \[AH = AB.\sin \widehat {ABC} = 5.\sin 64^\circ  \approx 4,49\] (cm).

\[\Delta AHD\] vuông tại \[D\] có:

\[\cos \widehat {HAD} = \frac{{AD}}{{AH}}\], suy ra \[AD = AH.\cos \widehat {HAD} \approx 4,04\] (cm).

\[\sin \widehat {HAD} = \frac{{HD}}{{AH}}\], suy ra \[HD = AH.\sin \widehat {HAD} \approx 1,97\] (cm).

Suy ra: $BD =AB–AD=5–\mathrm{4,04}=\mathrm{0,96}$ (cm).

\[CE = AC - AE = AC - HD = 10,25 - 1,97 = 8,28\] (cm).

c) Diện tích tứ giác \[BDEC\] là

\[{S_{BDEC}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta ADE}}\]

\[ = \frac{1}{2}AB.AC - \frac{1}{2}AD.AE\]

\[\begin{array}{l} = \frac{1}{2}(AB.AC - AD.AE)\\ = \frac{1}{2}.(5.10,25 - 4,04\,.\,1,97)\\ = 21,65\end{array}\]

Vậy diện tích của tứ giác \[BDEC\] là \[21,65\] (cm2).

2. Ta có \[AB\, \bot \,AC\], \[HE\, \bot \,AC\] suy ra \[AB\,{\rm{//}}\,HE\] nên: \[\widehat {ABH} = \widehat {ECH}\] .

Xét \[\Delta HAB\,\] và \[\Delta ECH\] có:

\[\widehat {AHB} = \widehat {HEC} = 90^\circ \] và \[\widehat {ABH} = \widehat {ECH}\]

Do đó $\Delta HAB\backsim \Delta ECH$ (g.g).

Xét \[\Delta AHB\,\] và \[\Delta ABC\] có:

\[\widehat {ADH} = \widehat {BAC} = 90^\circ \] và \[\widehat {HAD} = \widehat C\].

Do đó $\Delta DAH\backsim \Delta ACB$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{DA}}{{AC}} = \frac{{DH}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{BC}}\).

Khi đó \[\frac{{{S_{\Delta DAH}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}DA \cdot DH}}{{\frac{1}{2}AB \cdot AC}} = \left( {\frac{{DA}}{{AC}}} \right) \cdot \left( {\frac{{DH}}{{AB}}} \right) = \left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right) \cdot \left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right) = {\left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right)^2}\] \[(1)\]

Trong \[\Delta AHB\,\] vuông tại \[H,\] có \[\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\]

          \[\Delta AB\,C\] vuông tại \[A,\] có \[\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}\];

Suy ra \[\frac{{AH}}{{AB}}.\frac{{AB}}{{BC}} = \sin B.\sin C\]

\[\frac{{AH}}{{BC}} = \sin B.\sin C\]

\[{\left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right)^2} = {\sin ^2}B.{\sin ^2}C\] \[(2)\]

Từ \[(1)\] và \[(2)\] ta có \[\frac{{{S_{\Delta DAH}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B.{\sin ^2}C\] hay \[{S_{\Delta DAH}} = {S_{\Delta ABC}}.{\sin ^2}B.{\sin ^2}C\]

Suy ra \[{S_{\Delta DAH}} = {S_{\Delta ABC}} \cdot \left( {1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B} \right) \cdot {\sin ^2}C\].

3. Vì \(J\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(EC\) nên \(JE = JC\) (3)

Do tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật nên \(I\) là trung điểm \(AH\) nên \(I\) là trung điểm của \(DE\)

Mà \[DE \bot \,IJ\] nên \(IJ\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(EC\), suy ra \(JE = JD\) (4)

Gọi \(P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm \(BD\) và \(EC\).

Gọi \(O\) là giao điểm của các đường trung trực của \(BD\) và \(EC\).

Khi đó \(OE = OC;\,\,OB = OD\).

Ta có: \[AE.AC = \left( {AQ - QE} \right)\left( {AQ + QE} \right)\]

\(\begin{array}{l}AE.AC = A{Q^2} - Q{E^2}\\ = \left( {A{Q^2} + O{Q^2}} \right) - \left( {O{Q^2} - Q{E^2}} \right)\\ = 0{A^2} - O{E^2}\end{array}\)

Tương tự, ta có: \[AD.AB = O{A^2} - O{D^2}\]

Mà \[AE.{\rm{ }}AC = {\rm{ }}AD.{\rm{ }}AB\], nên \[O{A^2} - O{E^2} = O{A^2} - O{D^2}\].

Suy ra \(OE = OD\)

Vậy \[OE = OC = OB = OD.\]

Mặt khác, \(J\) là đường trung trực của \(DE\) và \(EC\) mà điểm \(O\) nằm trên giao điểm các đường trung trực \(DE\) và \(EC\) nên \(O\) và \(J\) |trùng nhau.

Vậy điểm \(J\) cách đều các điểm \(B,D,E\) và \(C\).