Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7x - 2y = 13}\\{3x + 5y = 29}\end{array}} \right.\)        

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {x - 4} \right)\left( {2y + 1} \right) = \left( {2x + 5} \right)\left( {y - 2} \right)}\\{\left( {x + 4} \right)\left( {2y - 1} \right) = 2xy + 4x + 5y - 3}\end{array}} \right.\).

1. a) Xét tam giác \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] có:

⦁ \[\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}}\], suy ra \[AC = AB.\tan \widehat {ABC} = 5 \cdot \tan 64^\circ  \approx 10,25\] (cm).

⦁ \[\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}},\] suy ra \[BC = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABC}}} = \frac{5}{{\cos 64^\circ }} \approx 11,41\] (cm).

b) Ta có \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\] nên \[AB.AC = AH.BC\]

\[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] có: \[\sin \widehat {ABC} = \frac{{AH}}{{AB}}\]

Suy ra \[AH = AB.\sin \widehat {ABC} = 5.\sin 64^\circ  \approx 4,49\] (cm).

\[\Delta AHD\] vuông tại \[D\] có:

\[\cos \widehat {HAD} = \frac{{AD}}{{AH}}\], suy ra \[AD = AH.\cos \widehat {HAD} \approx 4,04\] (cm).

\[\sin \widehat {HAD} = \frac{{HD}}{{AH}}\], suy ra \[HD = AH.\sin \widehat {HAD} \approx 1,97\] (cm).

Suy ra: $BD =AB–AD=5–\mathrm{4,04}=\mathrm{0,96}$ (cm).

\[CE = AC - AE = AC - HD = 10,25 - 1,97 = 8,28\] (cm).

c) Diện tích tứ giác \[BDEC\] là

\[{S_{BDEC}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta ADE}}\]

\[ = \frac{1}{2}AB.AC - \frac{1}{2}AD.AE\]

\[\begin{array}{l} = \frac{1}{2}(AB.AC - AD.AE)\\ = \frac{1}{2}.(5.10,25 - 4,04\,.\,1,97)\\ = 21,65\end{array}\]

Vậy diện tích của tứ giác \[BDEC\] là \[21,65\] (cm2).

2. Ta có \[AB\, \bot \,AC\], \[HE\, \bot \,AC\] suy ra \[AB\,{\rm{//}}\,HE\] nên: \[\widehat {ABH} = \widehat {ECH}\] .

Xét \[\Delta HAB\,\] và \[\Delta ECH\] có:

\[\widehat {AHB} = \widehat {HEC} = 90^\circ \] và \[\widehat {ABH} = \widehat {ECH}\]

Do đó $\Delta HAB\backsim \Delta ECH$ (g.g).

Xét \[\Delta AHB\,\] và \[\Delta ABC\] có:

\[\widehat {ADH} = \widehat {BAC} = 90^\circ \] và \[\widehat {HAD} = \widehat C\].

Do đó $\Delta DAH\backsim \Delta ACB$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{DA}}{{AC}} = \frac{{DH}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{BC}}\).

Khi đó \[\frac{{{S_{\Delta DAH}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}DA \cdot DH}}{{\frac{1}{2}AB \cdot AC}} = \left( {\frac{{DA}}{{AC}}} \right) \cdot \left( {\frac{{DH}}{{AB}}} \right) = \left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right) \cdot \left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right) = {\left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right)^2}\] \[(1)\]

Trong \[\Delta AHB\,\] vuông tại \[H,\] có \[\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\]

          \[\Delta AB\,C\] vuông tại \[A,\] có \[\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}\];

Suy ra \[\frac{{AH}}{{AB}}.\frac{{AB}}{{BC}} = \sin B.\sin C\]

\[\frac{{AH}}{{BC}} = \sin B.\sin C\]

\[{\left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right)^2} = {\sin ^2}B.{\sin ^2}C\] \[(2)\]

Từ \[(1)\] và \[(2)\] ta có \[\frac{{{S_{\Delta DAH}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B.{\sin ^2}C\] hay \[{S_{\Delta DAH}} = {S_{\Delta ABC}}.{\sin ^2}B.{\sin ^2}C\]

Suy ra \[{S_{\Delta DAH}} = {S_{\Delta ABC}} \cdot \left( {1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B} \right) \cdot {\sin ^2}C\].

3. Vì \(J\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(EC\) nên \(JE = JC\) (3)

Do tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật nên \(I\) là trung điểm \(AH\) nên \(I\) là trung điểm của \(DE\)

Mà \[DE \bot \,IJ\] nên \(IJ\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(EC\), suy ra \(JE = JD\) (4)

Gọi \(P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm \(BD\) và \(EC\).

Gọi \(O\) là giao điểm của các đường trung trực của \(BD\) và \(EC\).

Khi đó \(OE = OC;\,\,OB = OD\).

Ta có: \[AE.AC = \left( {AQ - QE} \right)\left( {AQ + QE} \right)\]

\(\begin{array}{l}AE.AC = A{Q^2} - Q{E^2}\\ = \left( {A{Q^2} + O{Q^2}} \right) - \left( {O{Q^2} - Q{E^2}} \right)\\ = 0{A^2} - O{E^2}\end{array}\)

Tương tự, ta có: \[AD.AB = O{A^2} - O{D^2}\]

Mà \[AE.{\rm{ }}AC = {\rm{ }}AD.{\rm{ }}AB\], nên \[O{A^2} - O{E^2} = O{A^2} - O{D^2}\].

Suy ra \(OE = OD\)

Vậy \[OE = OC = OB = OD.\]

Mặt khác, \(J\) là đường trung trực của \(DE\) và \(EC\) mà điểm \(O\) nằm trên giao điểm các đường trung trực \(DE\) và \(EC\) nên \(O\) và \(J\) |trùng nhau.

Vậy điểm \(J\) cách đều các điểm \(B,D,E\) và \(C\).

Gọi \(x\) (triệu đồng) là giá niêm yết máy hút ẩm, \(y\) (triệu đồng) là giá niêm yết quạt cây \(\left( {x,y > 0} \right)\)

• Tổng giá niêm yết là \(20\) triệu: \(x + y = 20\)

• Mức giảm giá: máy hút ẩm giảm \(20\% x = 0,2x\), quạt giảm \(15\% y = 0,15y\).

Tổng tiền giảm là \(3,62\) triệu: \(0,2x + 0,15y = 3,62\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 20}&{(1)}\\{0,2x + 0,15y = 3,62}&{(2)}\end{array}} \right.\)  

Nhân \((2)\) với \(100\), ta được \(20x + 15y = 362\).

Nhân \((1)\) với \(20\), ta được: \(20x + 20y = 400\).

Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất theo vế, ta được:

\(5y = 38\) suy ra \(y = 7,6\).

Thế vào (1), ta được: \(x = 20 - 7,6 = 12,4.\)

Kết luận: Giá niêm yết máy hút ẩm \(12,4\) triệu, quạt cây \(7,6\) triệu.