Một đội sản xuất dự định hoàn thành \(600\) chi tiết máy trong một thời gian nhất định. Khi làm thực tế, do sắp xếp hợp lý nên mỗi ngày đội làm được nhiều hơn \(25\) chi tiết so với dự kiến, nên hoàn thành sớm hơn \(4\) ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội dự định làm bao nhiêu chi tiết máy?

a) \(5\left( {3x - 1} \right) = \left( {2x + 3} \right)\left( {3x - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l}\left( {3x - 1} \right)\left[ {5 - \left( {2x + 3} \right)} \right] = 0\\\left( {3x - 1} \right)\left( {2 - 2x} \right) = 0\end{array}\)

\(3x - 1 = 0\) hoặc \(2 - 2x = 0\)

\(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = 1.\)

Vậy phương trình có nghiệm là \[x \in \left\{ {\frac{1}{3};1} \right\}\]

b) \(\frac{{3x - 1}}{{x - 2}} - \frac{{2x - 3}}{{x + 2}} + \frac{{7x - 2}}{{4 - {x^2}}} = 0\) (ĐK: \(x \ne 2,\,\,x \ne  - 2).\)

\[\frac{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{7x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 0\]

\(\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {2x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {7x - 2} \right) = 0\)

\(3{x^2} + 6x - x - 2 - \left( {2{x^2} - 4x - 3x + 6} \right) - 7x + 2 = 0\)

\({x^2} + 5x - 6 = 0\)

\(\left( {x + 6} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(x + 6 = 0\) hoặc \(x - 1 = 0\)

\(x =  - 6\) (thỏa mãn) hoặc \(x = 1\) (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x \in \left\{ { - 6;\,\,1} \right\}.\)

c) \(\frac{{2x - 11}}{{ - 7}} < \frac{{3x + 5}}{{11}}\)

\(\begin{array}{l}11\left( {2x - 11} \right) >  - 7\left( {3x + 5} \right)\\22x - 121 >  - 21x - 35\end{array}\)

\(\begin{array}{l}43x > 86\\x > 2.\end{array}\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x > 2.\)

Gọi \(x\) (triệu đồng) là giá niêm yết máy hút ẩm, \(y\) (triệu đồng) là giá niêm yết quạt cây \(\left( {x,y > 0} \right)\)

• Tổng giá niêm yết là \(20\) triệu: \(x + y = 20\)

• Mức giảm giá: máy hút ẩm giảm \(20\% x = 0,2x\), quạt giảm \(15\% y = 0,15y\).

Tổng tiền giảm là \(3,62\) triệu: \(0,2x + 0,15y = 3,62\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 20}&{(1)}\\{0,2x + 0,15y = 3,62}&{(2)}\end{array}} \right.\)  

Nhân \((2)\) với \(100\), ta được \(20x + 15y = 362\).

Nhân \((1)\) với \(20\), ta được: \(20x + 20y = 400\).

Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất theo vế, ta được:

\(5y = 38\) suy ra \(y = 7,6\).

Thế vào (1), ta được: \(x = 20 - 7,6 = 12,4.\)

Kết luận: Giá niêm yết máy hút ẩm \(12,4\) triệu, quạt cây \(7,6\) triệu.