Bác An đến siêu thị điện máy mua một máy hút ẩm và một quạt cây với tổng số tiền theo giá niêm yết là \(20\) triệu đồng. Tuy nhiên, do siêu thị khuyến mại để tri ân khách hàng nhân dịp 20/10 nên giá của máy hút ẩm và quạt cây đã lần lượt giảm \(20\% \) và \(15\% \) so với giá niêm yết. Do đó bác An đã được giảm \(3,62\) triệu đồng khi mua hai sản phẩm trên. Hỏi giá niêm yết của máy hút ẩm, quạt cây là bao nhiêu?

1. a) Xét tam giác \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] có:

⦁ \[\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}}\], suy ra \[AC = AB.\tan \widehat {ABC} = 5 \cdot \tan 64^\circ  \approx 10,25\] (cm).

⦁ \[\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}},\] suy ra \[BC = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABC}}} = \frac{5}{{\cos 64^\circ }} \approx 11,41\] (cm).

b) Ta có \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\] nên \[AB.AC = AH.BC\]

\[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] có: \[\sin \widehat {ABC} = \frac{{AH}}{{AB}}\]

Suy ra \[AH = AB.\sin \widehat {ABC} = 5.\sin 64^\circ  \approx 4,49\] (cm).

\[\Delta AHD\] vuông tại \[D\] có:

\[\cos \widehat {HAD} = \frac{{AD}}{{AH}}\], suy ra \[AD = AH.\cos \widehat {HAD} \approx 4,04\] (cm).

\[\sin \widehat {HAD} = \frac{{HD}}{{AH}}\], suy ra \[HD = AH.\sin \widehat {HAD} \approx 1,97\] (cm).

Suy ra: $BD =AB–AD=5–\mathrm{4,04}=\mathrm{0,96}$ (cm).

\[CE = AC - AE = AC - HD = 10,25 - 1,97 = 8,28\] (cm).

c) Diện tích tứ giác \[BDEC\] là

\[{S_{BDEC}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta ADE}}\]

\[ = \frac{1}{2}AB.AC - \frac{1}{2}AD.AE\]

\[\begin{array}{l} = \frac{1}{2}(AB.AC - AD.AE)\\ = \frac{1}{2}.(5.10,25 - 4,04\,.\,1,97)\\ = 21,65\end{array}\]

Vậy diện tích của tứ giác \[BDEC\] là \[21,65\] (cm2).

2. Ta có \[AB\, \bot \,AC\], \[HE\, \bot \,AC\] suy ra \[AB\,{\rm{//}}\,HE\] nên: \[\widehat {ABH} = \widehat {ECH}\] .

Xét \[\Delta HAB\,\] và \[\Delta ECH\] có:

\[\widehat {AHB} = \widehat {HEC} = 90^\circ \] và \[\widehat {ABH} = \widehat {ECH}\]

Do đó $\Delta HAB\backsim \Delta ECH$ (g.g).

Xét \[\Delta AHB\,\] và \[\Delta ABC\] có:

\[\widehat {ADH} = \widehat {BAC} = 90^\circ \] và \[\widehat {HAD} = \widehat C\].

Do đó $\Delta DAH\backsim \Delta ACB$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{DA}}{{AC}} = \frac{{DH}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{BC}}\).

Khi đó \[\frac{{{S_{\Delta DAH}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}DA \cdot DH}}{{\frac{1}{2}AB \cdot AC}} = \left( {\frac{{DA}}{{AC}}} \right) \cdot \left( {\frac{{DH}}{{AB}}} \right) = \left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right) \cdot \left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right) = {\left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right)^2}\] \[(1)\]

Trong \[\Delta AHB\,\] vuông tại \[H,\] có \[\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\]

          \[\Delta AB\,C\] vuông tại \[A,\] có \[\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}\];

Suy ra \[\frac{{AH}}{{AB}}.\frac{{AB}}{{BC}} = \sin B.\sin C\]

\[\frac{{AH}}{{BC}} = \sin B.\sin C\]

\[{\left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right)^2} = {\sin ^2}B.{\sin ^2}C\] \[(2)\]

Từ \[(1)\] và \[(2)\] ta có \[\frac{{{S_{\Delta DAH}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B.{\sin ^2}C\] hay \[{S_{\Delta DAH}} = {S_{\Delta ABC}}.{\sin ^2}B.{\sin ^2}C\]

Suy ra \[{S_{\Delta DAH}} = {S_{\Delta ABC}} \cdot \left( {1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B} \right) \cdot {\sin ^2}C\].

3. Vì \(J\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(EC\) nên \(JE = JC\) (3)

Do tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật nên \(I\) là trung điểm \(AH\) nên \(I\) là trung điểm của \(DE\)

Mà \[DE \bot \,IJ\] nên \(IJ\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(EC\), suy ra \(JE = JD\) (4)

Gọi \(P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm \(BD\) và \(EC\).

Gọi \(O\) là giao điểm của các đường trung trực của \(BD\) và \(EC\).

Khi đó \(OE = OC;\,\,OB = OD\).

Ta có: \[AE.AC = \left( {AQ - QE} \right)\left( {AQ + QE} \right)\]

\(\begin{array}{l}AE.AC = A{Q^2} - Q{E^2}\\ = \left( {A{Q^2} + O{Q^2}} \right) - \left( {O{Q^2} - Q{E^2}} \right)\\ = 0{A^2} - O{E^2}\end{array}\)

Tương tự, ta có: \[AD.AB = O{A^2} - O{D^2}\]

Mà \[AE.{\rm{ }}AC = {\rm{ }}AD.{\rm{ }}AB\], nên \[O{A^2} - O{E^2} = O{A^2} - O{D^2}\].

Suy ra \(OE = OD\)

Vậy \[OE = OC = OB = OD.\]

Mặt khác, \(J\) là đường trung trực của \(DE\) và \(EC\) mà điểm \(O\) nằm trên giao điểm các đường trung trực \(DE\) và \(EC\) nên \(O\) và \(J\) |trùng nhau.

Vậy điểm \(J\) cách đều các điểm \(B,D,E\) và \(C\).

Gọi số xe loại thứ nhất và thứ hai lần lượt là \(x,y\) (xe, \(x \in \mathbb{N},y \in \mathbb{N}\) )

Khi đó, tổng số tấn hàng được chở là: \(15x + 10y\) (tấn)

Do công ty phải chở 76 tấn hàng nên: \(15x + 10y \ge 76\).

Do \(x \in \mathbb{N},y \in \mathbb{N}\) và \(\left( {15x + 10y} \right) \vdots 5\) nên \(15x + 10y \ge 80\).

Dấu \( = \) xảy ra khi và chỉ khi \(15x + 10y = 80\) hay \(3x + 2y = 16\)

Từ đó, ta có các trường hợp:

TH1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 8}\end{array}} \right.\) thì chi phí cần trả là: \(0.13 + 8.9 = 72\) (triệu đồng).

TH2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 5}\end{array}} \right.\) thì chi phí cần trả là: \(2.13 + 5.9 = 71\) (triệu đồng).

TH3: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{y = 2}\end{array}} \right.\) thì chi phí cần trả là: \(4.13 + 2.9 = 70\) (triệu đồng).

Vậy cho phí thấp nhất là: 70 (triệu đồng)