PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một dây chuyền sản xuất có chi phí hao mòn (cần bảo dưỡng sau một chu kì sản xuất) sau khi sản xuất \(x\) sản phẩm là \(C\left( x \right) = 20\ln x + 50\) (triệu). Biết các sản phẩm được sản xuất thì được bán hết. Mỗi sản phẩm sau khi trừ đi các chi phí về vật liệu sản xuất và chi phí bán hàng thu về 5 triệu đồng/1 sản phẩm. Mỗi chu kì sản xuất dây chuyền cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để tổng lợi nhuận sau mỗi chu kì không nhỏ hơn 500 triệu đồng?

Gọi \(x\) là số sản phẩm được sản xuất trong một chu kì (\(x \in {\mathbb{N}^*}\)).

Chi phí hao mòn (cần bảo dưỡng) sau khi sản xuất \(x\) sản phẩm là \(C\left( x \right) = 20\ln x + 50\) (triệu đồng).

Do mỗi sản phẩm sau khi trừ đi các chi phí về vật liệu sản xuất và chi phí bán hàng thu về 5 triệu đồng, nên tổng doanh thu \(R\left( x \right)\) khi sản xuất \(x\) sản phẩm là:\(R\left( x \right) = 5x\) (triệu đồng).

Tổng lợi nhuận \(P\left( x \right)\) sau mỗi chu kì sản xuất là hiệu của tổng doanh thu và chi phí hao mòn:

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 5x - \left( {20\ln x + 50} \right) = 5x - 20\ln x - 50\) (triệu đồng).

Theo yêu cầu đề bài, tổng lợi nhuận sau mỗi chu kì không nhỏ hơn 500 triệu đồng, tức là:

\(P\left( x \right) \ge 500\)\( \Leftrightarrow 5x - 20\ln x - 50 \ge 500\)\( \Leftrightarrow 5x - 20\ln x - 550 \ge 0\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 5x - 20\ln x - 550\) với \(x > 0\).

Có \(f'\left( x \right) = 5 - \frac{{20}}{x}\); \(f'\left( x \right) = 0\)\( \Rightarrow x = 4\).

Bảng biến thiên

Giá trị cực tiểu của hàm số tại \(x = 4\) là: \(f\left( 4 \right) = 5 \cdot 4 - 20\ln 4 - 550 = - 530 - 20\ln 4 \approx - 557,72\).

Vì \(f\left( x \right)\) liên tục và đồng biến trên \(\left( {4; + \infty } \right)\), \(f\left( 4 \right) < 0\), và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {5x - 20\ln x - 550} \right) = + \infty \], nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất \({x_0} > 4\).

Ta cần tìm giá trị nguyên dương nhỏ nhất của \(x\) sao cho \(f\left( x \right) \ge 0\).

Thử các giá trị của \(x\):

Ÿ Với \(x = 129\): \(f\left( {129} \right) \approx - 2,196\) (triệu đồng).

Ÿ Với \(x = 130\): \(f\left( {130} \right) \approx 2,65\) (triệu đồng).

Vì \(f\left( {129} \right) < 0\) và \(f\left( {130} \right) > 0\), và hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\), nên giá trị nguyên nhỏ nhất của \(x\) để \(f\left( x \right) \ge 0\) là \(x = 130\).

Vậy, mỗi chu kì sản xuất dây chuyền cần sản xuất ít nhất 130 sản phẩm để tổng lợi nhuận không nhỏ hơn 500 triệu đồng.