Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), độ dài trên các trục mỗi đơn vị bằng 1 mét. Mặt đất được mô hình như là mặt phẳng \(Oxy\). Tại gốc tọa độ đặt bộ điều khiển Flycam với khoảng cách kết nối 100 mét. Một Flycam xuất phát từ điểm \(A\left( {4;8;0} \right)\)bay thẳng theo hướng \(\overrightarrow u = \left( {3;2;3} \right)\) với vận tốc \(6\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Hỏi sau bao nhiêu giây (làm tròn đến hàng phần mười) thì Flycam không còn trong vùng điều khiển.

Gọi \(x\) là số sản phẩm được sản xuất trong một chu kì (\(x \in {\mathbb{N}^*}\)).

Chi phí hao mòn (cần bảo dưỡng) sau khi sản xuất \(x\) sản phẩm là \(C\left( x \right) = 20\ln x + 50\) (triệu đồng).

Do mỗi sản phẩm sau khi trừ đi các chi phí về vật liệu sản xuất và chi phí bán hàng thu về 5 triệu đồng, nên tổng doanh thu \(R\left( x \right)\) khi sản xuất \(x\) sản phẩm là:\(R\left( x \right) = 5x\) (triệu đồng).

Tổng lợi nhuận \(P\left( x \right)\) sau mỗi chu kì sản xuất là hiệu của tổng doanh thu và chi phí hao mòn:

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 5x - \left( {20\ln x + 50} \right) = 5x - 20\ln x - 50\) (triệu đồng).

Theo yêu cầu đề bài, tổng lợi nhuận sau mỗi chu kì không nhỏ hơn 500 triệu đồng, tức là:

\(P\left( x \right) \ge 500\)\( \Leftrightarrow 5x - 20\ln x - 50 \ge 500\)\( \Leftrightarrow 5x - 20\ln x - 550 \ge 0\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 5x - 20\ln x - 550\) với \(x > 0\).

Có \(f'\left( x \right) = 5 - \frac{{20}}{x}\); \(f'\left( x \right) = 0\)\( \Rightarrow x = 4\).

Bảng biến thiên

Giá trị cực tiểu của hàm số tại \(x = 4\) là: \(f\left( 4 \right) = 5 \cdot 4 - 20\ln 4 - 550 = - 530 - 20\ln 4 \approx - 557,72\).

Vì \(f\left( x \right)\) liên tục và đồng biến trên \(\left( {4; + \infty } \right)\), \(f\left( 4 \right) < 0\), và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {5x - 20\ln x - 550} \right) = + \infty \], nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất \({x_0} > 4\).

Ta cần tìm giá trị nguyên dương nhỏ nhất của \(x\) sao cho \(f\left( x \right) \ge 0\).

Thử các giá trị của \(x\):

Ÿ Với \(x = 129\): \(f\left( {129} \right) \approx - 2,196\) (triệu đồng).

Ÿ Với \(x = 130\): \(f\left( {130} \right) \approx 2,65\) (triệu đồng).

Vì \(f\left( {129} \right) < 0\) và \(f\left( {130} \right) > 0\), và hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\), nên giá trị nguyên nhỏ nhất của \(x\) để \(f\left( x \right) \ge 0\) là \(x = 130\).

Vậy, mỗi chu kì sản xuất dây chuyền cần sản xuất ít nhất 130 sản phẩm để tổng lợi nhuận không nhỏ hơn 500 triệu đồng.