Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E thuộc BC, F thuộc AB).Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau

Xét $△$ADC và $△$BEC, ta có:

$\angle$(ADC) =$\angle$(BEC) = ${90}^0$

$\angle$C chung

Suy ra: $△$ADC đồng dạng $△$BEC (g.g)

Suy ra: ⇒ ECBC = DCAC

Xét $△$DEC và $△$ABC ta có:

$\angle$C chung

Vậy $△$DEC đồng dạng $△$ABC (c.g.c)

* Trường hợp góc B nhọn:

Xét $△$AMB và $△$AND, ta có:

$\angle$(AMB) = $\angle$(AND) = ${90}^0$

B = D (t/chất hình bình hành) ⇒ $△$AMB đồng dạng $△$AND (g.g)

Suy ra: 

Mà AD = BC (t/chất hình hình hành)

Suy ra: 

Lại có: AB // CD (gt)

AN ⊥ CD (gt)

Suy ra: AN ⊥ AB hay $\angle$(NAB) = ${90}^0$

suy ra: $\angle$NAM + $\angle$MAB = ${90}^0$ (1)

Trong tam giác vuông AMB ta có $\angle$ABM = ${90}^0$

Suy ra: $\angle$(MAB) + $\angle$B = ${90}^0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\angle$NAM = $\angle$B

Xét $△$ABC và $△$MAN ta có:

 (chứng minh trên)

$\angle$(NAM) = $\angle$B (chứng minh trên)

Vậy $△$ABC đồng dạng $△$MAN (c.g.c)

* Trường hợp góc B tù:

Xét $△$MAN và $△$AND, ta có:

$\angle$(AMB) = $\angle$(AND) = ${90}^0$

$\angle$(ABM) = $\angle$(ADN) (vì cùng bằng C)

⇒$△$AMB đông dạng $△$AND (g.g)

Suy ra:

Mà AD = BC (t/chẩt hình bình hành)

Suy ra: 

Vì AB //CD nên $\angle$(ABC) + $\angle$C =${180}^0$ (3)

Tứ giác AMCN có $\angle$(AMC) = $\angle$(AND) = ${90}^0$

Suy ra: $\angle$(MAN) + $\angle$C = ${180}^0$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: (MAN) = (ABC)

Xét $△$AMN và $△$ABC, ta có:

 (chứng minh trên)

$\angle$(MAN) = $\angle$(ABC) (chứng minh trên)

Vậy $△$MAN đồng dạng $△$ABC (c.g.c)