Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác BCD vuông cân tại B. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Kẻ BH ⊥ CD

Ta có: AD ⊥ CD ( Vì ABCD là hình thang vuông có $\angle$A = $\angle$D = ${90}^0$ )

Suy ra: BH // AD

Hình thang ABHD có hai cạnh bên song song nên HD = AB và BH = AD

AB = AD = 2cm (gt)

⇒ BH = HD = 2cm

CH = CD – HD = 4 – 2 = 2 (cm)

Suy ra: $∆$BHC vuông cân tại H

⇒ $\angle$C = ${45}^0$

$\angle$B + $\angle$C = ${180}^0$ (2 góc trong cùng phía bù nhau) ⇒ $\angle$B = ${180}^0$ – ${45}^0$ = ${135}^0$

Ta có: hình thang ABCD có AB // CD ⇒ $\angle$A + $\angle$D = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía)

Ta có: $\angle$A = 3$\angle$D (gt)

⇒ 3$\angle$D + $\angle$D = ${180}^0$ ⇒ 4$\angle$D = ${180}^0$ ⇒ $\angle$D = ${45}^0$ ⇒ $\angle$A = 3.${45}^0$ = ${135}^0$

$\angle$B + $\angle$C = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía)

$\angle$B - $\angle$C = ${30}^0$ (gt)

⇒ 2$\angle$B = ${180}^0$ + ${30}^0$ = ${210}^0$ ⇒ $\angle$B = ${105}^0$

$\angle$C = $\angle$B - ${30}^0$ = ${105}^0$ – ${30}^0$ = ${75}^0$