Tìm số phức z, biết:

a) $\overline{z}$ = $z^3$;

b) |z| + z = 3 + 4i.

a) Ta có z.$\overline{z}$ = ${\left|z\right|}^2$ nên từ $\overline{z}$ = $z^3$ ⇒ ${\left|z\right|}^2$ = $z^4$

Đặt z = a+ bi , suy ra:

$a^4$ + $b^4$ − 6$a^2{b}^2$ + 4ab($a^2$ − $b^2$)i = $a^2$ + $b^2$ (∗)

Do đó, ta có: 4ab($a^2$ − $b^2$) = 0 (∗∗)

Từ (∗∗) suy ra các trường hợp sau:

     +) a = b = 0 ⇒ z = 0

     +) a = 0, b ≠ 0: Thay vào (∗), ta có $b^4$ = $b^2$ ⇒ b = 1 hoặc b = -1 ⇒ z = i hoặc z = -1

     +) b = 0, a ≠ 0: Tương tự, ta có a = 1 hoặc a = -1 ⇒ z = 1 hoặc z = -1

   +) a ≠ 0, b ≠ 0 ⇒ $a^2$ − $b^2$ = 0⇒ $a^2$ = $b^2$, thay vào (∗) , ta có:

2$a^2$(2$a^2$ + 1) = 0, không có a nào thỏa mãn (vì a ≠ 0 )

b) Đặt z = a + bi. Từ |z| + z = 3 + 4i suy ra

⇒ $a^2$ + 16 = ${(3-a)}^2$ = 9 − 6a + $a^2$

⇒ 6a = −7 ⇒ a = −7/6

Vậy z = −7/6 + 4i