Cho điểm A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình của mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ.

Gọi giao điểm của (α) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c) (a, b, c > 0).

Mặt phẳng (α) có phương trình theo đoạn chắn là:

Do (α) đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1):

Thể tích của tứ diện OABC là:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

⇒ abc $\ge$ 27.6 ⇒ V $\ge$ 27

Ta có: V đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ V = 27

Vậy phương trình mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) thỏa mãn đề bài là:

hay 6x + 3y + 2z – 18 = 0

Mặt phẳng ($\mathrm{\beta }$) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$):

2x – y + 3z + 4 = 0, do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên ($\mathrm{\beta }$) là: $\overrightarrow{\mathrm{j}}$ = (0; 1; 0) và $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ = (2; −1; 3)

Suy ra ($\mathrm{\beta }$) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\beta }}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{j}}$ ∧ $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ = (3; 0; −2)

Mặt phẳng ($\mathrm{\beta }$) đi qua điểm M(2; -1; 2) có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\beta }}}$ = (3; 0; −2)

Vậy phương trình của ($\mathrm{\beta }$) là: 3(x – 2) – 2(z – 2) = 0 hay 3x – 2z – 2 = 0