Cho phương trình $7x^2 + 2(m – 1)x - m^2 = 0.$

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m.

a)$x^2 – x – 2 = 0$

Có a = 1; b = -1; c = -2 ⇒ a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1; 2}

b) + Đường thẳng y = x + 2 cắt trục Ox tại (-2; 0) và cắt Oy tại (0; 2).

+ Parabol $y = x^2$ đi qua các điểm (-2; 4); (-1; 1); (0; 0); (1; 1); (2; 4).

c) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

Phương trình (*) chính là phương trình đã giải ở ý (a) Do đó hai nghiệm ở câu (a) chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị

Cả ba phương trình trên đều là phương trình trùng phương.

a) $3x^4 – 12x^2 + 9 = 0 \left(1\right)$

Đặt $x^2 = t,$ t ≥ 0.

(1) trở thành: $3t^2 – 12t + 9 = 0 \left(2\right)$

Giải (2):

Có a = 3; b = -12; c = 9

⇒ a + b + c = 0

⇒ (2) có hai nghiệm $t_1 = 1 và t_2 = 3.$

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.

$\begin{array}{l}+t=3\Rightarrow x^2=3\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}\\ +t=1\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm 

b) $2x^4 + 3x^2 – 2 = 0 \left(1\right)$

Đặt $x^2 = t$, t ≥ 0.

(1) trở thành: $2t^2 + 3t – 2 = 0 \left(2\right)$

Giải (2) :

Có a = 2 ; b = 3 ; c = -2

$\Rightarrow \Delta = 3^2 – 4.2.(-2) = 25 > 0$

⇒ (2) có hai nghiệm

$t_1 = -2 < 0$ nên loại.

Vậy phương trình có tập nghiệm 

c) $x^4 + 5x^2 + 1 = 0 \left(1\right)$

Đặt $x^2 = t, t > 0.$

(1) trở thành: $t^2 + 5t + 1 = 0 \left(2\right)$

Giải (2):

Có a = 1; b = 5; c = 1

$\Rightarrow \Delta = 5^2 – 4.1.1 = 21 > 0$

⇒ Phương trình có hai nghiệm:

Cả hai nghiệm đều < 0 nên không thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.