Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình$\left\{\begin{array}{l}x-(m-2)y=2\\ (m-1)x-2y=m-5\end{array}\right.$có nghiệm duy nhất.

Xét hệ$\left\{\begin{array}{l}x-(m-2)y=2\\ (m-1)x-2y=m-5\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}(m-2)y=x-2\\ 2y=(m-1)x-m+5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}(m-2)y=x-2\\ y=\frac{m-1}{2}x-\frac{m}{2}+\frac{5}{2}\end{array}\right.$

TH1: Với m – 2 = 0$\iff$m = 2 ta có hệ$\left\{\begin{array}{l}0.y=x-2\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Nhận thấy hệ này có nghiệm duy nhất vì hai đường thẳng x = 2 và$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$cắt nhau

TH2: Với m – 2 ≠ 0$\iff$m ≠ 2 ta có hệ:$\left\{\begin{array}{l}(m-2)y=x-2\\ y=\frac{m-1}{2}x-\frac{m}{2}+\frac{5}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{m-2}x-\frac{2}{m-2}\\ y=\frac{m-1}{2}x-\frac{m}{2}+\frac{5}{2}\end{array}\right.$

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng:$d:y=\frac{1}{m-2}x-\frac{2}{m-2}$ và$d\text{'}:y=\frac{m-1}{2}x-\frac{m}{2}+\frac{5}{2}$cắt nhau

$$\begin{gathered} \iff \frac{1}{m-2}\ne \frac{m-1}{2}\iff \left(m–1\right)\left(m–2\right)\ne 2 \\ \iff m^2–3m+2\ne 2 \iff m^2–3m \ne 0 \end{gathered}$$

Suy ra m ≠ {0; 3}

Kết hợp cả TH1 và TH2 ta có m ≠ {0; 3}

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m ≠ {0; 3}

Đáp án: C