Cho mặt cầu (S) có bán kính $R=a\sqrt{3}$. Gọi (T) là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên (S) và diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T) là lớn nhất. Tính diện tích toàn phần $S_{tp}$ của (T).

Đáp án D

Phương trình $\left(\cos x+1\right)\left(\cos 2x-m\cos x\right)$$=m{\sin }^{2}x$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left(\cos 2x-m\cos x\right)$$=m\left(1-\cos x\right)\left(1+\cos x\right)$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left[\cos 2x-m\cos x-m\left(1-\cos x\right)\right]=0$$\iff \left(\cos x+1\right)\left(\cos 2x-m\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\cos x+1=0\\ \cos 2x-m=0\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}\cos x=-1\\ \cos 2x=m\end{array}\right.$

 Nếu $x\in \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$   thì $x\in \left[-\frac{1}{2};1\right]$  (quan sát trên đường tròn lượng giác). Suy ra phương trình $\cos x=-1$  không có nghiệm trên đoạn $\left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$ .

 Nếu $x\in \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$$\Rightarrow 2x\in \left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$ . Dựa vào đường tròn lượng giác, để phương trình $\cos 2x=m$  có đúng hai nghiệm $\iff -1<m\le -\frac{1}{2}$  .

Đáp án B

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay elip có trục lớn $A{A}^{\text{'}}=8$ , trục nhỏ $B{B}^{\text{'}}=6$  khi quay quanh trục AA’ là $V_{\left(E\right)}=\frac{4}{3}\pi .\frac{A{A}^{\text{'}}}{2}.{\left(\frac{B{B}^{\text{'}}}{2}\right)}^2$$=\frac{4}{3}\pi {\mathrm{.4.3}}^2=48\pi$  (đvtt).

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay đường tròn $\left(O;\frac{B{B}^{\text{'}}}{2}\right)$  quanh trục AA’ cũng chính là thể tích khối cầu tâm O, bán kính $R=3$ . Thể tích đó là 

$V_{\left(O;3\right)}=\frac{4}{3}\pi R^3$$=\frac{4}{3}\pi {.3}^3=36\pi$(đvtt).

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=V_{\left(E\right)}-V_{\left(O;3\right)}$$=48\pi -36\pi =12\pi$  (đvtt)