Câu hỏi:

19/08/2020 187

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = 2 a$ . Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).

A. $d = \frac{a \sqrt{5}}{5} .$

B. $d = a .$

C. $d = \frac{4 a \sqrt{5}}{5} .$

D. $d = \frac{2 a \sqrt{5}}{5} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Cách 1: Tư duy tự luận (Tính khoảng cách dựa vào hình chiếu)

Ta có

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A B // C D \\ A B ⊄ (S C D) \\ C D \subset (S C D) \end{cases} \\ \Rightarrow A B // (S C D) \\ \Rightarrow d (B, (S C D)) = d (A; (S C D)) \end{array}$

Lại có $\{\begin{cases} C D ⊥ A D, A D \subset (S A D) \\ C D ⊥ S A, S A \subset (S A D) \\ A D \cap S A = A \end{cases}$ $\Rightarrow C D ⊥ (S A D)$ .

Trong mặt phẳng (SAD) : Kẻ $A H ⊥ S D, (H \in S D)$ thì $C D ⊥ A H$ .

Suy ra $A H ⊥ (A C D)$ $\Rightarrow A H = d (A; (S C D))$ $= d (B; (S C D))$ .

$Δ S A D$ vuông tại A nên

$\begin{array}{l} \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} \\ = \frac{1}{{(2 a)}^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{5}{4 a^{2}} \\ \Rightarrow A H = \frac{2 a}{\sqrt{5}} \end{array}$

Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là $d = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}$ .

Cách 2: Tư duy tự luận (Tinh khoảng cách qua công thức thể tích)

Thể tích khối chóp S.ABCD là $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D}$ $= \frac{1}{3} .2 a . a^{2} = \frac{2 a^{3}}{3}$ (đvtt)

Do $S_{Δ B C D} = \frac{1}{2} S_{A B C D}$ $\Rightarrow V_{S . B C D} = \frac{1}{2} V_{S . A B C D} = \frac{a^{3}}{3}$ (đvtt).

Ta có $C D ⊥ (S A D)$ (xem lại phần chứng minh ở cách 1) $\Rightarrow C D ⊥ S D \Rightarrow Δ S C D$ vuông tại D. Suy ra

$\begin{array}{l} S_{Δ S C D} = \frac{1}{2} S D . C D \\ = \frac{1}{2} \sqrt{S A^{2} + A D^{2}} . C D \\ = \frac{1}{2} . a . \sqrt{{(2 a)}^{2} + a^{2}} \\ = \frac{a^{2} \sqrt{5}}{2} \end{array}$

(đvdt)

Mặt khác

$\begin{array}{l} V_{S . B C D} = V_{B . S C D} \\ = \frac{1}{3} d (B; (S C D)) . S_{Δ S C D} \\ \Rightarrow d (B; (S C D)) = \frac{3 V_{S . B C D}}{S_{Δ S C D}} \\ = \frac{2 a}{\sqrt{5}} \end{array}$

Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là $d = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho phương trình $(\cos x + 1) (\cos 2 x - m \cos x)$ $= m \sin^{2} x$ . Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn $[0; \frac{2 π}{3}]$ khi

A. $m > - 1$

B. $m \geq - 1.$

C. $- 1 \leq m \leq 1.$

D. $- 1 < m \leq - \frac{1}{2} .$

Lời giải

Đáp án D

Phương trình $(\cos x + 1) (\cos 2 x - m \cos x)$ $= m \sin^{2} x$

$\Leftrightarrow (\cos x + 1) (\cos 2 x - m \cos x)$ $= m (1 - \cos x) (1 + \cos x)$

$\Leftrightarrow (\cos x + 1) [\cos 2 x - m \cos x - m (1 - \cos x)] = 0$ $\Leftrightarrow (\cos x + 1) (\cos 2 x - m) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x + 1 = 0 \\ \cos 2 x - m = 0 \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = - 1 \\ \cos 2 x = m \end{array}$

Nếu $x \in [0; \frac{2 π}{3}]$ thì $x \in [- \frac{1}{2}; 1]$ (quan sát trên đường tròn lượng giác). Suy ra phương trình $\cos x = - 1$ không có nghiệm trên đoạn $[0; \frac{2 π}{3}]$ .

Nếu $x \in [0; \frac{2 π}{3}]$ $\Rightarrow 2 x \in [0; \frac{4 π}{3}]$ . Dựa vào đường tròn lượng giác, để phương trình $\cos 2 x = m$ có đúng hai nghiệm $\Leftrightarrow - 1 < m \leq - \frac{1}{2}$ .

Câu 2

Trong mặt phẳng (P), cho elip (E) có độ dài trục lớn AA'=8 và độ dài trục nhỏ là BB'=6. Đường tròn tâm O đường kính BB’ như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường elip và đường tròn đó (phần hình phẳng tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục AA’

A. $V = 36 π$

B. $V = 12 π$

C. $V = 16 π$

D. $V = \frac{64 π}{3} .$

Lời giải

Đáp án B

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay elip có trục lớn $A A^{'} = 8$ , trục nhỏ $B B^{'} = 6$ khi quay quanh trục AA’ là $V_{(E)} = \frac{4}{3} π . \frac{A A^{'}}{2} . {(\frac{B B^{'}}{2})}^{2}$ $= \frac{4}{3} π {.4.3}^{2} = 48 π$ (đvtt).

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay đường tròn $(O; \frac{B B^{'}}{2})$ quanh trục AA’ cũng chính là thể tích khối cầu tâm O, bán kính $R = 3$ . Thể tích đó là

$V_{(O; 3)} = \frac{4}{3} π R^{3}$ $= \frac{4}{3} π {.3}^{3} = 36 π$ (đvtt).

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V = V_{(E)} - V_{(O; 3)}$ $= 48 π - 36 π = 12 π$ (đvtt)

Câu 3

Tổng $S = 1 + 11 + 111 + ... + \underset{n so 1}{\underset{⏟}{11...111}}$ là

A. $S = \frac{10}{81} (10^{n - 1} - 1) - \frac{n}{9} .$

B. $S = \frac{10}{81} (10^{n} - 1) + \frac{n}{9} .$

C. $S = \frac{1}{81} (10^{n} - 1) - \frac{n}{9} .$

D. $S = \frac{10}{81} (10^{n} - 1) - \frac{n}{9} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} x \leq \log_{\frac{1}{3}} (2 x)$ là nửa khoảng $(a; b]$ . Giá trị của $a^{2} + b^{2}$ là

A. 1

B. 4

C. $\frac{1}{2} .$

D. 8

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$ bằng cách đặt $x = 2 \sin t$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $I = 2 \int_{0}^{1} d t$

B. $I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} d t$

C. $I = \int_{0}^{\frac{π}{3}} d t$

D. $I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} d t$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Số hạng chính giữa trong khai triển ${(3 x + 2 y)}^{4}$ là

A. $36 C_{4}^{2} x^{2} y^{2} .$

B. $4 {(3 x)}^{2} {(2 y)}^{2} .$

C. $6 C_{4}^{2} x^{2} y^{2} .$

D. $C_{4}^{2} x^{2} y^{2} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho mặt cầu (S) có bán kính $R = a \sqrt{3}$ . Gọi (T) là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên (S) và diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T) là lớn nhất. Tính diện tích toàn phần $S_{t p}$ của (T).

A. $S_{t p} = 9 π a^{2} .$

B. $S_{t p} = 9 π a^{2} \sqrt{3} .$

C. $S_{t p} = 6 π a^{2} \sqrt{3} .$

D. $S_{t p} = 6 π a^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học