Câu hỏi:

20/08/2020 164

Cho hình thoi ABCD có $\hat{B A D} = 60 °, A B = 2 a$ . Gọi H là trung điểm của AB. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S thay đổi khác H. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho $B M = \frac{1}{4} B C$ . Tính theo a độ dài của SH để góc giữa SC và (SAD) có số đo lớn nhất

A. $S H = \sqrt[4]{\frac{21}{4}} a .$

Đáp án chính xác

B. $S H = \frac{\sqrt[4]{21}}{4} a .$

C. $S H = \sqrt{\frac{21}{4}} a .$

D. $S H = \frac{\sqrt{21}}{4} a .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Gọi $φ$ là góc giữa SC và (SAD), N là giao điểm của HM và AD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SN, I là giao điểm của HC với AD. Gọi E là điểm đối xứng với I qua K.

Ta có $M B = \frac{1}{4} B C = \frac{a}{2},$ $H B = a, \hat{H B M} = \hat{B A D} = 60 °$

$\Rightarrow H M = \sqrt{H B^{2} + M B^{2} - 2 H B . M B . c o s \hat{H B M}}$

$\Rightarrow H M = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{4} - 2 a . \frac{a}{2} . \cos 60 °}$ $= \frac{\sqrt{3}}{2} a$

$\Rightarrow H M^{2} + M B^{2}$ $= {(\frac{\sqrt{3}}{2} a)}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$ $= a^{2} = H B^{2}$

$\Rightarrow Δ H M B$ vuông tại M

$\Rightarrow H M ⊥ M B$ hay $M N ⊥ B C$ .

Vì $\{\begin{cases} S H ⊥ A D (do S H ⊥ (A B C D)) \\ M N ⊥ A D (do M N ⊥ B C) \end{cases}$ $\Rightarrow A D ⊥ (S M N) \Rightarrow A D ⊥ H K$ , mà $H K ⊥ S N$ nên $H K ⊥ (S A D)$ . Lại có HK là đường trung bình của $Δ I C E$ nên $H K // C E$ . Suy ra $C E ⊥ (S A D)$ tại E và SE là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (SAD).

Vậy $φ = (\hat{S C, (S A D)})$ $= \hat{(S C, S E)} = \hat{C S E}$ .

Đặt $S H = x, (x > 0)$ . Do $Δ S H N$ vuông tại H có HK là đường cao nên ta có

$\begin{array}{l} \frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H N^{2}} \\ \Rightarrow H K = \frac{S H . H N}{\sqrt{S H^{2} + H N^{2}}} \\ = \frac{\sqrt{3} a x}{\sqrt{4 x^{2} + 3 a^{2}}} \\ \Rightarrow C E = 2 H K = \frac{2 \sqrt{3} a x}{\sqrt{4 x^{2} + 3 a^{2}}} \end{array}$

Do $Δ S H C$ vuông tại H nên

$\begin{array}{l} S C = \sqrt{S H^{2} + H C^{2}} \\ = \sqrt{S H^{2} + H M^{2} + M C^{2}} \\ = \sqrt{x^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2} a)}^{2} + {(\frac{5 a}{2})}^{2}} \\ = \sqrt{x^{2} + 7 a^{2}} \end{array}$

$Δ S E C$ vuông tại E nên $\sin φ = \sin \hat{C S E}$ $= \frac{E C}{S C}$ $= \frac{2 \sqrt{3} a x}{\sqrt{(4 x^{2} + 3 a^{2}) (x^{2} + 7 a^{2})}}$

$\Rightarrow \sin φ = \frac{2 \sqrt{3} a x}{\sqrt{(4 x^{4} + 21 a^{4}) + 31 a^{2} x^{2}}}$ $\leq \frac{2 \sqrt{3} a x}{\sqrt{4 \sqrt{21} a^{2} x^{2} + 31 a^{2} x^{2}}}$ $= \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{4 \sqrt{21} + 31}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $4 x^{4} = 21 a^{4} \Leftrightarrow x^{4} = \frac{21}{4} a^{4}$ $\Leftrightarrow x = \sqrt[4]{\frac{21}{4}} a$ .

Vậy góc $φ$ đạt lớn nhất khi $\sin φ$ đạt lớn nhất, khi đó $S H = \sqrt[4]{\frac{21}{4}} a$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho phương trình $(\cos x + 1) (\cos 2 x - m \cos x)$ $= m \sin^{2} x$ . Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn $[0; \frac{2 π}{3}]$ khi

A. $m > - 1$

B. $m \geq - 1.$

C. $- 1 \leq m \leq 1.$

D. $- 1 < m \leq - \frac{1}{2} .$

Xem đáp án » 20/08/2020 4,014

Câu 2:

Trong mặt phẳng (P), cho elip (E) có độ dài trục lớn AA'=8 và độ dài trục nhỏ là BB'=6. Đường tròn tâm O đường kính BB’ như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường elip và đường tròn đó (phần hình phẳng tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục AA’

A. $V = 36 π$

B. $V = 12 π$

C. $V = 16 π$

D. $V = \frac{64 π}{3} .$

Xem đáp án » 19/08/2020 2,338

Câu 3:

Tổng $S = 1 + 11 + 111 + ... + \underset{n so 1}{\underset{⏟}{11...111}}$ là

A. $S = \frac{10}{81} (10^{n - 1} - 1) - \frac{n}{9} .$

B. $S = \frac{10}{81} (10^{n} - 1) + \frac{n}{9} .$

C. $S = \frac{1}{81} (10^{n} - 1) - \frac{n}{9} .$

D. $S = \frac{10}{81} (10^{n} - 1) - \frac{n}{9} .$

Xem đáp án » 20/08/2020 1,426

Câu 4:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$ bằng cách đặt $x = 2 \sin t$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $I = 2 \int_{0}^{1} d t$

B. $I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} d t$

C. $I = \int_{0}^{\frac{π}{3}} d t$

D. $I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} d t$

Xem đáp án » 19/08/2020 1,184

Câu 5:

Cho mặt cầu (S) có bán kính $R = a \sqrt{3}$ . Gọi (T) là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên (S) và diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T) là lớn nhất. Tính diện tích toàn phần $S_{t p}$ của (T).

A. $S_{t p} = 9 π a^{2} .$

B. $S_{t p} = 9 π a^{2} \sqrt{3} .$

C. $S_{t p} = 6 π a^{2} \sqrt{3} .$

D. $S_{t p} = 6 π a^{2}$

Xem đáp án » 19/08/2020 1,103

Câu 6:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} x \leq \log_{\frac{1}{3}} (2 x)$ là nửa khoảng $(a; b]$ . Giá trị của $a^{2} + b^{2}$ là

A. 1

B. 4

C. $\frac{1}{2} .$

D. 8

Xem đáp án » 18/08/2020 1,010

Câu 7:

Một quán café muốn làm cái bảng hiệu là một phần của Elip có kích thước, hình dạng giống như hình vẽ và có chất lượng bằng gỗ. Diện tích gỗ bề mặt bảng hiệu là: (làm tròn đến hàng phần chục)

A. 1,3

B. 1,4

C. 1,5

D. 1,6

Xem đáp án » 19/08/2020 686

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Cho phương trình $(\cos x + 1) (\cos 2 x - m \cos x)$ $= m \sin^{2} x$ . Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn $[0; \frac{2 π}{3}]$ khi

Tổng $S = 1 + 11 + 111 + ... + \underset{n so 1}{\underset{⏟}{11...111}}$ là

Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$ bằng cách đặt $x = 2 \sin t$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho mặt cầu (S) có bán kính $R = a \sqrt{3}$ . Gọi (T) là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên (S) và diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T) là lớn nhất. Tính diện tích toàn phần $S_{t p}$ của (T).

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} x \leq \log_{\frac{1}{3}} (2 x)$ là nửa khoảng $(a; b]$ . Giá trị của $a^{2} + b^{2}$ là

Một quán café muốn làm cái bảng hiệu là một phần của Elip có kích thước, hình dạng giống như hình vẽ và có chất lượng bằng gỗ. Diện tích gỗ bề mặt bảng hiệu là: (làm tròn đến hàng phần chục)

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Nhà sách VIETJACK:

Cho phương trình cosx+1cos2x−mcosx=msin2x. Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 0;2π3 khi

Tổng S=1+11+111+...+11...111⏟n so 1 là

Tính tích phân I=∫0124−x2dx bằng cách đặt x=2sint. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho mặt cầu (S) có bán kính R=a3. Gọi (T) là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên (S) và diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T) là lớn nhất. Tính diện tích toàn phần Stp của (T).

Tập nghiệm của bất phương trình log3x≤log132x là nửa khoảng a;b. Giá trị của a2+b2 là

Một quán café muốn làm cái bảng hiệu là một phần của Elip có kích thước, hình dạng giống như hình vẽ và có chất lượng bằng gỗ. Diện tích gỗ bề mặt bảng hiệu là: (làm tròn đến hàng phần chục)

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho phương trình $(\cos x + 1) (\cos 2 x - m \cos x)$ $= m \sin^{2} x$ . Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn $[0; \frac{2 π}{3}]$ khi

Tổng $S = 1 + 11 + 111 + ... + \underset{n so 1}{\underset{⏟}{11...111}}$ là

Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$ bằng cách đặt $x = 2 \sin t$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho mặt cầu (S) có bán kính $R = a \sqrt{3}$ . Gọi (T) là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên (S) và diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T) là lớn nhất. Tính diện tích toàn phần $S_{t p}$ của (T).

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} x \leq \log_{\frac{1}{3}} (2 x)$ là nửa khoảng $(a; b]$ . Giá trị của $a^{2} + b^{2}$ là