Câu hỏi:

20/08/2020 307

Cho hình thoi ABCD có $\hat{B A D} = 60 °, A B = 2 a$ . Gọi H là trung điểm của AB. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S thay đổi khác H. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho $B M = \frac{1}{4} B C$ . Tính theo a độ dài của SH để góc giữa SC và (SAD) có số đo lớn nhất

A. $S H = \sqrt[4]{\frac{21}{4}} a .$

B. $S H = \frac{\sqrt[4]{21}}{4} a .$

C. $S H = \sqrt{\frac{21}{4}} a .$

D. $S H = \frac{\sqrt{21}}{4} a .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Gọi $φ$ là góc giữa SC và (SAD), N là giao điểm của HM và AD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SN, I là giao điểm của HC với AD. Gọi E là điểm đối xứng với I qua K.

Ta có $M B = \frac{1}{4} B C = \frac{a}{2},$ $H B = a, \hat{H B M} = \hat{B A D} = 60 °$

$\Rightarrow H M = \sqrt{H B^{2} + M B^{2} - 2 H B . M B . c o s \hat{H B M}}$

$\Rightarrow H M = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{4} - 2 a . \frac{a}{2} . \cos 60 °}$ $= \frac{\sqrt{3}}{2} a$

$\Rightarrow H M^{2} + M B^{2}$ $= {(\frac{\sqrt{3}}{2} a)}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$ $= a^{2} = H B^{2}$

$\Rightarrow Δ H M B$ vuông tại M

$\Rightarrow H M ⊥ M B$ hay $M N ⊥ B C$ .

Vì $\{\begin{cases} S H ⊥ A D (do S H ⊥ (A B C D)) \\ M N ⊥ A D (do M N ⊥ B C) \end{cases}$ $\Rightarrow A D ⊥ (S M N) \Rightarrow A D ⊥ H K$ , mà $H K ⊥ S N$ nên $H K ⊥ (S A D)$ . Lại có HK là đường trung bình của $Δ I C E$ nên $H K // C E$ . Suy ra $C E ⊥ (S A D)$ tại E và SE là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (SAD).

Vậy $φ = (\hat{S C, (S A D)})$ $= \hat{(S C, S E)} = \hat{C S E}$ .

Đặt $S H = x, (x > 0)$ . Do $Δ S H N$ vuông tại H có HK là đường cao nên ta có

$\begin{array}{l} \frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H N^{2}} \\ \Rightarrow H K = \frac{S H . H N}{\sqrt{S H^{2} + H N^{2}}} \\ = \frac{\sqrt{3} a x}{\sqrt{4 x^{2} + 3 a^{2}}} \\ \Rightarrow C E = 2 H K = \frac{2 \sqrt{3} a x}{\sqrt{4 x^{2} + 3 a^{2}}} \end{array}$

Do $Δ S H C$ vuông tại H nên

$\begin{array}{l} S C = \sqrt{S H^{2} + H C^{2}} \\ = \sqrt{S H^{2} + H M^{2} + M C^{2}} \\ = \sqrt{x^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2} a)}^{2} + {(\frac{5 a}{2})}^{2}} \\ = \sqrt{x^{2} + 7 a^{2}} \end{array}$

$Δ S E C$ vuông tại E nên $\sin φ = \sin \hat{C S E}$ $= \frac{E C}{S C}$ $= \frac{2 \sqrt{3} a x}{\sqrt{(4 x^{2} + 3 a^{2}) (x^{2} + 7 a^{2})}}$

$\Rightarrow \sin φ = \frac{2 \sqrt{3} a x}{\sqrt{(4 x^{4} + 21 a^{4}) + 31 a^{2} x^{2}}}$ $\leq \frac{2 \sqrt{3} a x}{\sqrt{4 \sqrt{21} a^{2} x^{2} + 31 a^{2} x^{2}}}$ $= \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{4 \sqrt{21} + 31}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $4 x^{4} = 21 a^{4} \Leftrightarrow x^{4} = \frac{21}{4} a^{4}$ $\Leftrightarrow x = \sqrt[4]{\frac{21}{4}} a$ .

Vậy góc $φ$ đạt lớn nhất khi $\sin φ$ đạt lớn nhất, khi đó $S H = \sqrt[4]{\frac{21}{4}} a$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho phương trình $(\cos x + 1) (\cos 2 x - m \cos x)$ $= m \sin^{2} x$ . Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn $[0; \frac{2 π}{3}]$ khi

A. $m > - 1$

B. $m \geq - 1.$

C. $- 1 \leq m \leq 1.$

D. $- 1 < m \leq - \frac{1}{2} .$

Lời giải

Đáp án D

Phương trình $(\cos x + 1) (\cos 2 x - m \cos x)$ $= m \sin^{2} x$

$\Leftrightarrow (\cos x + 1) (\cos 2 x - m \cos x)$ $= m (1 - \cos x) (1 + \cos x)$

$\Leftrightarrow (\cos x + 1) [\cos 2 x - m \cos x - m (1 - \cos x)] = 0$ $\Leftrightarrow (\cos x + 1) (\cos 2 x - m) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x + 1 = 0 \\ \cos 2 x - m = 0 \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = - 1 \\ \cos 2 x = m \end{array}$

Nếu $x \in [0; \frac{2 π}{3}]$ thì $x \in [- \frac{1}{2}; 1]$ (quan sát trên đường tròn lượng giác). Suy ra phương trình $\cos x = - 1$ không có nghiệm trên đoạn $[0; \frac{2 π}{3}]$ .

Nếu $x \in [0; \frac{2 π}{3}]$ $\Rightarrow 2 x \in [0; \frac{4 π}{3}]$ . Dựa vào đường tròn lượng giác, để phương trình $\cos 2 x = m$ có đúng hai nghiệm $\Leftrightarrow - 1 < m \leq - \frac{1}{2}$ .

Câu 2

Trong mặt phẳng (P), cho elip (E) có độ dài trục lớn AA'=8 và độ dài trục nhỏ là BB'=6. Đường tròn tâm O đường kính BB’ như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường elip và đường tròn đó (phần hình phẳng tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục AA’

A. $V = 36 π$

B. $V = 12 π$

C. $V = 16 π$

D. $V = \frac{64 π}{3} .$

Lời giải

Đáp án B

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay elip có trục lớn $A A^{'} = 8$ , trục nhỏ $B B^{'} = 6$ khi quay quanh trục AA’ là $V_{(E)} = \frac{4}{3} π . \frac{A A^{'}}{2} . {(\frac{B B^{'}}{2})}^{2}$ $= \frac{4}{3} π {.4.3}^{2} = 48 π$ (đvtt).

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay đường tròn $(O; \frac{B B^{'}}{2})$ quanh trục AA’ cũng chính là thể tích khối cầu tâm O, bán kính $R = 3$ . Thể tích đó là

$V_{(O; 3)} = \frac{4}{3} π R^{3}$ $= \frac{4}{3} π {.3}^{3} = 36 π$ (đvtt).

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V = V_{(E)} - V_{(O; 3)}$ $= 48 π - 36 π = 12 π$ (đvtt)

Câu 3

Tổng $S = 1 + 11 + 111 + ... + \underset{n so 1}{\underset{⏟}{11...111}}$ là

A. $S = \frac{10}{81} (10^{n - 1} - 1) - \frac{n}{9} .$

B. $S = \frac{10}{81} (10^{n} - 1) + \frac{n}{9} .$

C. $S = \frac{1}{81} (10^{n} - 1) - \frac{n}{9} .$

D. $S = \frac{10}{81} (10^{n} - 1) - \frac{n}{9} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} x \leq \log_{\frac{1}{3}} (2 x)$ là nửa khoảng $(a; b]$ . Giá trị của $a^{2} + b^{2}$ là

A. 1

B. 4

C. $\frac{1}{2} .$

D. 8

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$ bằng cách đặt $x = 2 \sin t$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $I = 2 \int_{0}^{1} d t$

B. $I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} d t$

C. $I = \int_{0}^{\frac{π}{3}} d t$

D. $I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} d t$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Số hạng chính giữa trong khai triển ${(3 x + 2 y)}^{4}$ là

A. $36 C_{4}^{2} x^{2} y^{2} .$

B. $4 {(3 x)}^{2} {(2 y)}^{2} .$

C. $6 C_{4}^{2} x^{2} y^{2} .$

D. $C_{4}^{2} x^{2} y^{2} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho mặt cầu (S) có bán kính $R = a \sqrt{3}$ . Gọi (T) là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên (S) và diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T) là lớn nhất. Tính diện tích toàn phần $S_{t p}$ của (T).

A. $S_{t p} = 9 π a^{2} .$

B. $S_{t p} = 9 π a^{2} \sqrt{3} .$

C. $S_{t p} = 6 π a^{2} \sqrt{3} .$

D. $S_{t p} = 6 π a^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho phương trình cosx+1cos2x−mcosx=msin2x. Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 0;2π3 khi

Tổng S=1+11+111+...+11...111⏟n so 1 là

Tập nghiệm của bất phương trình log3x≤log132x là nửa khoảng a;b. Giá trị của a2+b2 là

Tính tích phân I=∫0124−x2dx bằng cách đặt x=2sint. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Số hạng chính giữa trong khai triển 3x+2y4 là

Cho mặt cầu (S) có bán kính R=a3. Gọi (T) là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên (S) và diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T) là lớn nhất. Tính diện tích toàn phần Stp của (T).

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho phương trình $(\cos x + 1) (\cos 2 x - m \cos x)$ $= m \sin^{2} x$ . Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn $[0; \frac{2 π}{3}]$ khi

Tổng $S = 1 + 11 + 111 + ... + \underset{n so 1}{\underset{⏟}{11...111}}$ là

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} x \leq \log_{\frac{1}{3}} (2 x)$ là nửa khoảng $(a; b]$ . Giá trị của $a^{2} + b^{2}$ là

Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$ bằng cách đặt $x = 2 \sin t$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Số hạng chính giữa trong khai triển ${(3 x + 2 y)}^{4}$ là

Cho mặt cầu (S) có bán kính $R = a \sqrt{3}$ . Gọi (T) là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên (S) và diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T) là lớn nhất. Tính diện tích toàn phần $S_{t p}$ của (T).