Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung  điểm của AC và B’C’ (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’ bằng

Giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^2\ln x$ là

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình ${\log }_3^{2}x-3{\log }_{3}x+2m-7=0$có hai nghiệm thực $x_1,x_2$ thỏa mãn $\left(x_1+3\right)\left(x_2+3\right)=72.$

Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị (C). Giả sử A, B là hai điểm thuộc (C) và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF. Tìm diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF.

Cho hai đường tròn $\left(O_1;5\right)$ và $\left(O_2;5\right)$ cắt nhau tại 2 điểm A,B sao cho AB là  1  đường kính của đường tròn $\left(O_2\right).$ Gọi (D) là hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần tô màu như hình vẽ). Quay (D) quanh trục $O_1;O_2$ ta được 1 khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

Cho đồ thị $\left(C\right):y=x^3-3x^2.$ Có bao nhiêu số nguyên $b\in \left(-10;10\right)$ để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm $B\left(0;b\right)?$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn véctơ $\overrightarrow{a}=\left(2;3;1\right),\overrightarrow{b}=\left(5;7;0\right),\overrightarrow{c}=\left(3;-2;4\right)$và $\overrightarrow{d}=\left(4;12;-3\right).$ Mệnh đề nào sau đây sai?

Giải bất phương trình ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{x^2-4}\ge 1$ ta được tập nghiệm là T. Tìm T