Biết ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{x}{{\sin }^{2}x}dx=m\mathrm{\pi }+\mathrm{nln}2 \left(\mathrm{m},\mathrm{n}\in \mathrm{ℝ}\right)$, hãy tính giá trị của biểu thức P = 2m + n.

Ông An muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 288 $m^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500.000 đồng/$m^2$. Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): mx + 2y - z + 1 = 0 (m là tam số). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S):${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+z^2=9$ theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m.

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=2$; ${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx=6$. Tính $I={\int }_{-1}^{1}f\left(\left|2x-1\right|\right)dx$?

Tìm số nghiệm thuộc $[-\frac{3\mathrm{\pi }}{2};-\mathrm{\pi })$  của phương trình $\sqrt{3}\sin x=\cos \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-2x\right)$.

Cho $f\left(x\right)=\sqrt{1+3x}-\sqrt[3]{1+2x},g\left(x\right)=\sin x$. Tính giá trị của $\frac{f\text{'}\left(0\right)}{g\text{'}\left(0\right)}$.

Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x^3}{x-2}-27$ song song với trục hoành là

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$.  Gọi O  là tâm của đáy  ABC, $d_1$ là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), $d_2$ là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính $d=d_1+d_2$?