Đề số 7

Cho hình lập phương cạnh 4cm. Trong khối lập phương là khối cầu tiếp xúc với các mặt của hình lập phương. Tính thể tích phần còn lại của khối lập phương.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)={\cos }^{2}x$ ta được

Cho phương trình $\cos 2\left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)+4\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}-x\right)=\frac{5}{2}$. Khi đặt $t=\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}-x\right)$, phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ ?

Cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z+2}{1}$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-z-6=0$ cắt nhau tại I. Gọi M là điểm thuộc d sao cho IM = 6. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Kí hiệu $z_0$ là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình $z^2+2z+10=0$. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức $w=i^{2017}{z}_0$?

Tính tổng S các nghiệm của phương trình $\left(2\cos 2x+5\right)\left({\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x\right)+3=0$ trong  khoảng $\left(0;2\mathrm{\pi }\right)$.

Biết rằng phương trình ${\left(x-2\right)}^{{\log }_2\left[4\left(x-2\right)\right]}=4.{\left(x-2\right)}^3$ có hai nghiệm $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$. Tính $2x_1-x_2$.

Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x-3y+z-2=0$ và chứa đường thẳng $d:\frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-1}.$

Tìm số phức liên hợp của số phức $z=\left(1-i\right)\left(3+2i\right)$.

Tìm số nghiệm thuộc $[-\frac{3\mathrm{\pi }}{2};-\mathrm{\pi })$  của phương trình $\sqrt{3}\sin x=\cos \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-2x\right)$.

Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị là hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy làm tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a và có thể tích bằng $2a^2$. Tính khoảng cách giữa hai đáy lăng trụ.

Cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{z-3}{4}$ và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0. Xét vị trí tương đối của (d) và (P).

Biết ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=10,{\int }_a^{b}g\left(x\right)dx=5.$ Tính $I={\int }_a^b\left(3f\left(x\right)-5g\left(x\right)\right)dx$.

Cho hình chóp đều SABC có AB = 1cm, SA = 2cm. Tính diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình nón ngoại tiếp hình chóp SABC.

Cho số phức $z=a+bi\left(a,b\in \mathrm{ℝ}\right)$ thỏa điều kiện $\left(2-3i\right)z-7i.\overline{z}=22-20i$. Tính a+b

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{1}$ và $d_2:\frac{x-5}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{-1}$. Xét vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$

Một kỹ sư được nhận lương khởi điểm là 8.000.000 đồng/tháng. Cứ sau hai năm lương mỗi tháng của kỹ sư đó được tăng thêm 10% so với mức lương hiện tại. Tính tổng số tiền T (đồng) kỹ sư đó nhận được sau 6 năm làm việc.

Cho $f\left(x\right)=\sqrt{1+3x}-\sqrt[3]{1+2x},g\left(x\right)=\sin x$. Tính giá trị của $\frac{f\text{'}\left(0\right)}{g\text{'}\left(0\right)}$.

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x}-m khi x\ge 0\\ mx+2 khi x<0\end{array}\right.$ liên tục trên $\mathrm{ℝ}$.

Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x^3}{x-2}-27$ song song với trục hoành là

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz, cho $∆ABC$ có A(2;4), B(5;1), C(-1;-2). Phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{BC}}$ biến $∆ABC$ thành $∆A\text{'}B\text{'}C\text{'}$  Tìm tọa độ trọng tâm của $∆A\text{'}B\text{'}C\text{'}$

Cho ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx=-5, {\int }_1^3\left[f\left(x\right)-2g\left(x\right)\right]dx=9$. Tính $I={\int }_1^{3}g\left(x\right)dx$.

Biết ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{x}{{\sin }^{2}x}dx=m\mathrm{\pi }+\mathrm{nln}2 \left(\mathrm{m},\mathrm{n}\in \mathrm{ℝ}\right)$, hãy tính giá trị của biểu thức P = 2m + n.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): mx + 2y - z + 1 = 0 (m là tam số). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S):${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+z^2=9$ theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m.

Đồ thị hàm số $y=-x^3+3mx+1$  có 2 điểm cực trị A,B $\left(x_A<x_B\right)$ sao cho tứ giác ABOE là hình bình hạnh với O là gốc tọa độ và điểm E(-4;-32). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x}\ln x.$

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left|z\right|=\left|z+\overline{z}\right|=1$?

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $2\left|z-1\right|=\left|z+\overline{z}+2\right|$ trên mặt phẳng tọa độ là một

Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính 60cm  thành ba miền hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+1$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm thuộc đồ thị (C) có tung độ là nghiệm phương trình $2f\text{'}\left(x\right)-x.f\text{'}\text{'}\left(x\right)-6=0$?

Ông An muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 288 $m^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500.000 đồng/$m^2$. Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz , cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2}$, A(2;1;4). Gọi điểm H(a;b;c) là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị T =  $a^2+b^2+c^2$.

Cho hàm số $f\left(x\right)=5^x.8^{2x^3}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f\left(x\right)=2x^3-6x^2-m+1$ có các giá trị cực trị trái dấu?

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=2$; ${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx=6$. Tính $I={\int }_{-1}^{1}f\left(\left|2x-1\right|\right)dx$?

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$.  Gọi O  là tâm của đáy  ABC, $d_1$ là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), $d_2$ là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính $d=d_1+d_2$?

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-2}$ trên tập hợp $D=\left(-\infty ;-1\right)\cup \left[1;\frac{3}{2}\right]$. Tính giá trị P = M.n?

Đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ đạt cực đại tại A(0;-2) và cực tiểu tại $B\left(\frac{1}{2};-\frac{17}{8}\right)$. Tính a + b + c

Một cái th ng đựng nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng hai lần bán kính mặt đáy của th ng. Bên trong thùng có một cái phễu dạng hình nón có đáy là đáy của th ng, có đ nh là tâm của miệng thùng và có chiều cao bằng 20cm (xem hình minh họa). Biết rằng đổ 4.000 $c{m}^3$ nước vào th ng thì đầy th ng (nước không chảy được vào bên trong phễu), tính bán kính đáy  r  của phễu (giá trị gần đúng của  r  làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho tam giác SAB vuông tại A, ABS = 60$°$ đường phân giác trong của ABS  cắt  SA tại điểm I. Vẽ nửa đường tròn tâm I bán kính IA (như hình vẽ). Cho $∆SAB$ và nửa đường tròn trên quay quanh cạnh  SA tạo nên các khối tròn xoay tương ứng có thể tích $V_1,V_2$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua điểm  M  và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz  lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với điểm gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P).

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=x^4-2m{x}^2+m-1$  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp chúng bằng 1?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ có bán kính $R=\sqrt{19}$,  đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=-2-4t\\ z=-1-4t\end{array}\right.$và mặt phẳng $\left(P\right):3x-y-3z-1=0$. Trong các số {a,b,c,d} theo thứ tự dưới  đây, số nào thỏa mãn a + b + c + d = 43, đồng thời tâm I của (S) thuộc đường thẳng d và (S) tiếp xúc với (P)?

Cho phương trình $\left(m+1\right){\log }_2^{2}x+2{\log }_{2}x+(m-2)=0$. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình đã cho có hai nghiệm thực $x_1,x_2$ thỏa $0<x_1<1<x_2$.

Cho số phức z thỏa mãn $\left|z-2-3i\right|=1$. Gọi $M=max\left|\overline{z}+1+i\right|$, $m=min\left|\overline{z}+1+i\right|$. Tính giá trị của biểu thức $\left(M^2+m^2\right)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(9;-3;5), B(a,b,c). Gọi M, N, P  lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt phẳng tọa độ (Oxy);(Oxz);(Oyz). Biết M,N,P nằm trên đoạn AB sao cho AN = MN = NP = PB. Giá trị của tổng a + b + c là

Cho số phức z thỏa mãn $\left|\frac{z-1}{2-i}+i\right|=\sqrt{5}$. Biết rằng tập hợp biểu diễn số phức w = (1 - i)z + 2i có dạng ${\left(x+2\right)}^2+y^2=k$. Tìm k.

Đặt $f\left(n\right)={\left(n^2+n+1\right)}^2+1$. Xét dãy số $\left(u_n\right)$ sao cho $u_n=\frac{f\left(1\right)f\left(3\right)f\left(5\right)...f\left(2n-1\right)}{f\left(2\right)f\left(4\right)f\left(6\right)...f\left(2n\right)}$. Tính $lim\left(n\sqrt{n_n}\right)$.