Cho tam giác ABC, AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC. Tính BI?

Ta có: AB = AC = 10cm

Suy ra ΔABC cân tại A

Có I là giao các đường phân giác của ΔABC

Suy ra AI, BI là đường phân giác của ΔABC

Gọi H là giao của AI và BC

Khi đó ta có AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân ABC (tính chất tam giác cân).

=> H là trung điểm của cạnh BC

=> BH = HC = $\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}$ = 6cm

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$$\begin{gathered} A{H}^2 + B{H}^2 = A{B}^2 \\ \iff A{H}^2 + 6^2 = {10}^2 \\ \iff A{H}^2 = 100 – 36 = 64 \\ \Rightarrow AH = 8 \end{gathered}$$

Vì BI là phân giác của tam giác ABH nên: $\frac{AB}{BH}=\frac{AI}{IH}=\frac{AH-IH}{IH}$

ó $\frac{10}{6}=\frac{8-IH}{IH}$ ó 10IH = 48 – 6IH ó IH = 3

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác BHI vuông tại H, ta có:

$$\begin{gathered} B{I}^2 = I{H}^2 + B{H}^2 \\ \iff B{I}^2 = 3^2 + 6^2 \\ \iff B{I}^2 = 45\Rightarrow BI=3\sqrt{5} \end{gathered}$$

Đáp án: D