Cho phương trình ${\left(x^2-2x+3\right)}^2+2\left(3-m\right)\left(x^2-2x+3\right)+m^2-6m=0$. Tìm m để phương trình vô nghiệm.

Phương trình $\left(x^2-3x+m\right)\left(x-1\right)=0$ (2)

$\iff \left[\begin{array}{c}{x}^2-3x+m=0\\ x-1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}{x}^2-3x+m=0(*)\\ x=1\end{array}\right.$

Xét phương trình (*), ta có: $∆=9-4m$

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

$\iff \left\{\begin{array}{c}9-4m>0\\ 1-3+m\ne 0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{c}m<\frac{9}{4}\\ m\ne 2\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: C

Đặt $t=x^2-2x=3={\left(x-1\right)}^2+2\ge 2$ ta được phương trình 

$t^2+2\left(3-m\right)t+m^2-6m=0 \left(1\right)$

$∆\text{'}=m^2-6m+9-m^2+6m=9$ suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm là

$t_1=m-6 và t_2=m$

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra phương trình (1) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2

$\iff \left[\begin{array}{c}m-6\ge 2\\ m\ge 2\end{array}\right.\iff m\ge 2$

Đáp án cần chọn là: D