Câu hỏi:

03/02/2021 2,342

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O, SA vuông góc với đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng $30 °$ . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) với M là trung điểm CD.

A. $\frac{a}{3}$

Đáp án chính xác

B. $\frac{2 a}{3}$

C. $\frac{4 a}{3}$

D. $\frac{5 a}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 15 câu Khoảng cách có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+ Ta có $\begin{array}{l} D B ⊥ A C \\ D B ⊥ S A \end{array}\} \Rightarrow D B ⊥ (S A C) \Rightarrow D B ⊥ S O$ tại O

Hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (SAC) là SO

Do đó góc giữa SD và (SAC) là $\hat{D S O} = 30 °$

+ Đặt DO = x $\Rightarrow$ DB = 2x; AO = BO = CO = x

Ta có: $Δ S A B = Δ S A D (c . g . c)$ nên SB = SD $\Rightarrow$ Tam giác SBD cân tại S, mà có O là trung điểm BC $\Rightarrow \hat{D S B} = 2 \hat{D S O} = 60 °$

Tam giác SBD đều $\Rightarrow$ SO = 2x $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = x $\sqrt{3}$

Theo Py-ta-go trong tam giác SOA vuông tại A, ta có: $S O^{2} = A O^{2} + S A^{2}$

hay $3 x^{2} = x^{2} + a^{2} \Leftrightarrow x^{2} = a^{2} / 2$

$\Rightarrow$ x = $\frac{a}{\sqrt{2}}$

+ Gọi N là trung điểm của AB $\Rightarrow$ DN // BM

Suy ra d(D; (SBM)) = d(N;(SBM)) = 1/2 d(A; (SBM))

+ Kẻ AI $⊥$ BM tại I và AH $⊥$ SI tại H. Từ đó ta chứng minh được AH $⊥$ (SBM)

$\Rightarrow$ d(A; (SBM)) = AH $\Rightarrow$ d(D; (SBM)) = 1/2 AH.

+ Tính AH

$B M = \sqrt{B C^{2} + C M^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$

Trong (ABCD): $S_{A B M} = S_{A B C D} - 2 S_{A D M} = a^{2} - 2. \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{2}$

Mà $S_{A B M} = \frac{1}{2}$ AI. BM $\Rightarrow$ AI = $\frac{2 a}{\sqrt{5}}$

Áp dụng hệ thức về cạnh, đường cao trong tam giác vuông SAI có:

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A I^{2}} + \frac{1}{S A^{2}} \Rightarrow$ AH = $\frac{2 a}{3}$

Vậy d(D; (SBM)) = 1/2. AH = $\frac{a}{3}$

Đáp án A

Bình luận

Câu 1:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó.

C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.

Xem đáp án » 08/09/2020 19,808

Câu 2:

Cho khối lập phương ABCDA’B’C’D’. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’C’ là :

A. AA’

B. BB'

C. DA’

D. DD’

Xem đáp án » 08/09/2020 13,611

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a; tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = a $\sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD).

A. $\frac{3 a \sqrt{21}}{7}$

B. $\frac{a \sqrt{21}}{7}$

C. $\frac{2 a \sqrt{21}}{7}$

D. $\frac{4 a \sqrt{21}}{7}$

Xem đáp án » 03/02/2021 12,464

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng $60 °$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN là:

A. $\frac{4 a \sqrt{39}}{13}$

B. $\frac{3 a \sqrt{39}}{13}$

C. $\frac{a \sqrt{39}}{13}$

D. $\frac{2 a \sqrt{39}}{13}$

Xem đáp án » 08/09/2020 9,665

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên (SBC) vuông góc với đáy (ABC). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, SA, AC. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (SBC).

A. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{3 a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án » 04/02/2021 8,136

Câu 6:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mặt phẳng (P).

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b.

D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Xem đáp án » 08/09/2020 7,427

Câu 7:

Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh đều bằng a và $\hat{B A D} = \hat{B A A'} = \hat{D A A'} = 60 °$ . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A’B’C’D’).

A. $\frac{a \sqrt{5}}{5}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{10}}{5}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án » 04/02/2021 7,278

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O, SA vuông góc với đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng $30 °$ . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) với M là trung điểm CD.