Số nghiệm của phương trình 2tan x – 2cotx – 3 = 0 trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}; \pi \right)$ là :

Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\].

Ta có: 2 tan x – 2 cot x – 3 = 0

\[ \Leftrightarrow 2\tan x - 2\frac{1}{{\tan x}} - 3 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x - 3\tan x - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 2\\\tan x =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arctan 2 + k\pi \\x = \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

+)\[x = \arctan 2 + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Khi đó \[ - \frac{\pi }{2} < \arctan 2 + k\pi  < \pi \]

\[ \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan 2}}{\pi } < k < \frac{{\pi  - \arctan 2}}{\pi }\]

\[ \Rightarrow  - 0,85 < k < 0,65\]

\[ \Rightarrow k = 0\]

\[ \Rightarrow x = \arctan 2\].

+) \[x = arc\tan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Khi đó \[ - \frac{\pi }{2} < \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi  < \pi \]

\[ \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi } < k < \frac{{\pi  - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi }\]

\[ \Rightarrow  - 0,35 < k < 1,15\]

\[ \Rightarrow k \in \left\{ {0;\,\,1} \right\}\]

\[ \Rightarrow x \in \left\{ {\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right);\,\,\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \pi } \right\}\]

Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình có 3 nghiệm là \[x = \arctan 2\]; \[\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)\] và\[\,\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \pi \].

Đáp án D.