Cho phương trình $m{x}^2+(m^2-3)x+m=0$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn $x_1+x_2=\frac{13}{4}$ . Khi đó tổng bình phương các giá trị tìm được của tham số m bằng:

Ta có: $x^2-4x+6+3m=0\iff 3m=-x^2+4x-6$

Số nghiệm của phương trình $x^2-4x+6+3m=0$ là số giao điểm của đường thẳng $y=3m$ và parabol $y=-x^2+4x-6$

Parabol $y=-x^2+4x-6$ có hoành độ đỉnh $x=2\in \left[-1;3\right]$, hệ số $a=-1<0$ nên đồng biến khi $x<2$ và nghịch biến khi $x>2$.

Bảng biến thiên của hàm số $y=-x^2+4x-6$ trên đoạn $\left[-1;3\right]$:

Từ bảng biến thiên ta thấy, nếu phương trình có nghiệm trên đoạn $\left[-1;3\right]$ thì đường thẳng $y=3m$ phải cắt parabol tại ít nhất 1 điểm có hoành độ thuộc đoạn $\left[-1;3\right]$.

Phương trình có nghiệm thuộc đoạn $\left[-1;3\right]$$\iff -11\le 3m\le -2$$\iff -\frac{11}{3}\le m\le -\frac{2}{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Điều kiện xác định $x\in R$

Đặt $t=\sqrt{x^2+1},t\ge 1$

Phương trình trở thành $t^2-1-4t-m+1=0\iff t^2-4t=m\left(2\right)$

Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^2-4t$ có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh $x=2\in \left(1;+\infty \right)$ nên ta có bảng biến thiên:

Dựa BBT ta thấy để (2) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 thì $-4<m<-3$

Vậy không có giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B