Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.

Một nhóm gồm 15 học sinh (cả nam và nữ) tham gia buổi lao động trồng cây. Các bạn nam trồng được 30 cây, các bạn nữ trồng được 36 cây. Mỗi bạn nam trồng được số cây như nhau và mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của nhóm, biết rằng mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây.

Cho phương trình $x^2-2mx+m^2-1=0\left(1\right),$ với m là tham số.

1) Giải phương trình (1) khi m= 2 

2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình (1) lập phương trình bậc hai nhận $x_1^3-2m{x}_1^2+m^2{x}_1-2$ và  $x_2^3-2m{x}_2^2+m^2{x}_2-2$  là nghiệm.

Rút gọn biểu thức $P=\frac{x-2}{x+2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}, \mathrm{x}>0$

Cho bốn số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x+y+z+t= 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A= \frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

Giải phương trình $\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+4x+1\right)=6x^2$

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là hai tiếp điểm). Lấy điểm C trên cung nhỏ AB (C không trùng với A và B). Từ điểm C kẻ CD vuông góc với AB, CE vuông góc với MA, CF  vuông góc với MB(  $D\in AB, E\in MA, F\in MB)$. Gọi I là giao điểm của AC và DE K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng

1) Tứ giácABCE nội tiếp một đường tròn.

2) Hai tam giác CDE  & CFD đồng dạng.

3) Tia đối của tia CD là tia phân giác góc $\overbrace{ECF}$ 

4) Đường thẳng IK song song với đường thẳng AB 

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x=4\\ x+y=5\end{array}\right.$