Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Chứng minh $A{B}^2=BH.BC;$                     b) Chứng minh $A{H}^2=BH.CH;$ 

c) Gọi P là trung điểm của BH và Q là trung điểm của AH. Chứng minh $\Delta BAP\backsim \Delta ACQ;$ 

d) Chứng minh $AP\perp CQ.$

Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Đường thẳng qua D và song song với AC cắt AB tại E, đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại F. Cho biết diện tích các tam giác EBD và FDC lần lượt bằng $a^2 và b^2$, hãy tính diện tích tam giác ABC.

Cho hình vuông ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC và I là giao điểm của DF và CE. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác CIE và CBE

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh

a) $A{H}^2=AM.AB;$

b) AM,AB = AN.AC

c) $\Delta AMN\backsim \Delta ACB.$

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh

$B{C}^2=BH.BD+CH.CE.$

Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ $CE\perp AB$ tại E, $CF\perp AD$ tại F, $BH\perp AC$ tại H và $DK\perp AC$ tại K. Chứng minh

a) $\frac{AB}{AC}=\frac{AH}{AE};$

b) $AD.AF=AK.AC;$

c) $AD.AF+AB.AE=A{C}^2.$

Cho hình thang vuông ABCD tại A và D,  AB = 6cm, CD = 12cm, AD = 17cm. Trên cạnh AD, lấy E sao cho AE = 8cm. Chứng minh $\widehat{BEC}={90}^0.$