Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh

a) $A{H}^2=AM.AB;$

b) AM,AB = AN.AC

c) $\Delta AMN\backsim \Delta ACB.$

Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Đường thẳng qua D và song song với AC cắt AB tại E, đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại F. Cho biết diện tích các tam giác EBD và FDC lần lượt bằng $a^2 và b^2$, hãy tính diện tích tam giác ABC.

Cho hình vuông ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC và I là giao điểm của DF và CE. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác CIE và CBE

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh

$B{C}^2=BH.BD+CH.CE.$

Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ $CE\perp AB$ tại E, $CF\perp AD$ tại F, $BH\perp AC$ tại H và $DK\perp AC$ tại K. Chứng minh

a) $\frac{AB}{AC}=\frac{AH}{AE};$

b) $AD.AF=AK.AC;$

c) $AD.AF+AB.AE=A{C}^2.$

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Chứng minh $A{B}^2=BH.BC;$                     b) Chứng minh $A{H}^2=BH.CH;$ 

c) Gọi P là trung điểm của BH và Q là trung điểm của AH. Chứng minh $\Delta BAP\backsim \Delta ACQ;$ 

d) Chứng minh $AP\perp CQ.$

Cho hình thang vuông ABCD tại A và D,  AB = 6cm, CD = 12cm, AD = 17cm. Trên cạnh AD, lấy E sao cho AE = 8cm. Chứng minh $\widehat{BEC}={90}^0.$