Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C chạy trên một nửa đường tròn. Vẽ một đường tròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D, đường tròn này cắt CA và CB tại các điểm thứ hai là M và N. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng

b) $\mathrm{ID}\perp \mathrm{MN}$

c) Đường thẳng CD đi qua điểm cố định

d) Nêu cách dựng đường tròn (I) nói trên.

Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I và K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI

a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp của $∆\mathrm{MAB}$

c) Giả sử MA = 12 cm, MB = 16 cm, tính bán kính của đường tròn nội tiếp $∆\mathrm{MAB}$

Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Gọi K là giao điểm của EB với đường tròn (O) và H là giao điểm của BD và AK.

a) $∆$ABE là tam giác gì?

b) Chứng minh rằng EH vuông góc với AB.

c) Chứng minh rằng OD vuông góc với AK.

Cho $∆\mathrm{ABC}$ có ba góc nhọn. Đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB, AC tại D, E. Gọi I là giao điểm của BS và CD.

a) Chứng minh rằng $\mathrm{AI}\perp \mathrm{BC}$

b) Chứng minh rằng $\widehat{\mathrm{IAE}}=\widehat{\mathrm{IDE}}$

c) Cho $\widehat{\mathrm{BAC}}={60}^0$, chứng minh $∆\mathrm{DOE}$ là tam giác đều.

Cho $∆\mathrm{ABC}$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Kẻ đường kính AE.

a) Tính $\widehat{\mathrm{ACE}}$

b) Chứng minh rằng $\widehat{\mathrm{BAH}}=\widehat{\mathrm{OAC}}$

c) Gọi K là giao điểm của AH với đường tròn (O). Tứ giác BCEK là hình gì?

Cho $∆\mathrm{ABC}$ nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt đường tròn tại M.

a) Chứng minh rằng $∆\mathrm{BMC}$là tam giác cân.

b) Chứng minh rằng $\widehat{\mathrm{BMC}}=\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{ACB}}$

c) Gọi D là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng AB.AC = AD.AM

Cho đường tròn (O) và hai dây AB, CD bằng nhau cắt nhau tại M (điểm C nằm trên cung nhỏ AB, điểm B nằm trên cung nhỏ CD)

a) Chứng minh AC = DB

b) Chứng minh $∆\mathrm{MAC}=∆\mathrm{MDB}$

c) Tứ giác ACBD là hình gì? Chứng minh.

Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC, BA theo thứ tự tại D, E, F. Cho biết $\widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{\mathrm{EDF}}$. Tính số đo của góc $\widehat{\mathrm{BAC}}$.