Cho $∆\mathrm{ABC}$ ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F là các tiếp điểm của đường tròn trên các cạnh AB, BC, CA. Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của đường tròn (O) với các tia OA, OB, OC. Chứng minh rằng các điểm M, N, P lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $∆\mathrm{ADF}$, $∆\mathrm{BDE}$, $∆\mathrm{CEF}$

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của C trên AB.

a) Chứng minh rằng CA là tia phân giác góc $\widehat{\mathrm{MCH}}$

b) Giả sử MA = a, MC = 2a, tính AB và CH.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm I có đường kính BH, nó cắt AB ở M. Vẽ đường tròn tâm K có đường kính CH, nó cắt AC ở N.

a) Tứ giác AMHN là hình gì?

b) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

c) Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp $∆\mathrm{ABC}$. Chứng minh rằng Ax song song với MN.

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây BC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’). Vẽ dây BD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng

a) ${\mathrm{AB}}^2$ = AC.AD

b) $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BD}}=\sqrt{\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}}$

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O’) tại D. Vẽ đường tròn (I) qua ba điểm A, C, D cắt đường thẳng AB tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{\mathrm{CAD}}+\widehat{\mathrm{CBD}}={180}^0$

b) Tứ giác BCED là hình bình hành.

Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn (AB < AC). Tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng BC ở I. Kẻ $\mathrm{AH}\perp \mathrm{BC}$. Chứng minh rằng

a) AB là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{IAH}}$

b) ${\mathrm{IA}}^2$ = IB.IC

Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Vẽ đường tròn (O’) ngoại tiếp $∆\mathrm{MAT}$. Từ M vẽ tiếp tuyến xy của đường tròn (O’). Chứng minh rằng

a) ${\mathrm{MT}}^2$ = MA.MB

b) BT // xy