Chứng minh ${\mathrm{n}}^3+3{\mathrm{n}}^2+5\mathrm{n}$ chia hết cho 3

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) đúng với mọi số tự nhiên $\mathrm{n}\ge \mathrm{p}$ (p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

Bước 1, kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = p

Bước 2, giả thiết mệnh đề P(n) đúng với số tự nhiên bất kỳ $\mathrm{n}=\mathrm{k}\ge \mathrm{p}$ và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1

Trong hai bước trên:

Với $\mathrm{n}\in {\mathrm{N}}^{*}$, hãy rút gọn biểu thức $\mathrm{S}=1.4+2.7+3.10+...$$+\mathrm{n}(3\mathrm{n}+1)$

Với mỗi số nguyên dương n, đặt $\mathrm{S}=1^2+2^2+...+{\mathrm{n}}^2$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

Một học sinh chứng minh mệnh đề $\text{'}\text{'}{8}^{\mathrm{n}}+1$ chia hết cho 7, $\forall \mathrm{n}\in {\mathrm{N}}^{*}\text{'}\text{'}(*)$ như sau:

Giả sử (*) đúng với n = k tức là $8^{\mathrm{k}}$ + 1 chia hết cho 7

Ta có: $8^{\mathrm{k}+1}$ + 1 = 8$(8^{\mathrm{k}}+1)$ - 7, kết hợp với giả thiết $8^{\mathrm{k}}$ + 1 chia hết cho 7 nên suy ra được $8^{\mathrm{k}+1}$ + 1 chia hết cho 7.

Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi $\mathrm{n}\in {\mathrm{N}}^{*}$

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Kí hiệu $\mathrm{k}!=\mathrm{k}(\mathrm{k}-1)...2.1,\forall \mathrm{k}\in {\mathrm{N}}^{*}$ đặt ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=1.1!+2.2!+...+\mathrm{n}.\mathrm{n}!$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Đối với bài toán chứng minh P(n) đúng với mọi $\mathrm{n}\ge \mathrm{p}$ với p là số tự nhiên cho trước thì ở bước 1 ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

Với $\mathrm{n}\in {\mathrm{N}}^{*}$, ta xét các mệnh đề:

P: “$7^{\mathrm{n}}$ + 5 chia hết cho 2”;

Q: “$7^{\mathrm{n}}$ + 5 chia hết cho 3” và

R: “$7^{\mathrm{n}}$ + 5 chia hết cho 6”.

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là: