Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $\mathrm{M}\left(2;-1;1\right)$ và hai đường thẳng ${\mathrm{d}}_1:\frac{\mathrm{x}-2}{1}=\frac{\mathrm{y}-1}{-2}=\frac{\mathrm{z}-1}{2}$, ${\mathrm{d}}_2:\frac{\mathrm{x}-2}{2}=\frac{\mathrm{y}+3}{1}=\frac{\mathrm{z}-1}{-1}$. Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ cắt ${\mathrm{d}}_1,{\mathrm{d}}_2$ lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của AB có phương trình:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\mathrm{P}\right):\mathrm{x}+2\mathrm{y}-3\mathrm{z}+4=0$ và đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}+2}{1}=\frac{\mathrm{y}-2}{1}=\frac{\mathrm{z}}{-1}$. Đường thẳng $∆$ nằm trong (P)) đồng thời cắt và vuông góc với d có phương trình:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 3y - z - 7 = 0 và điểm A(3; 5; 0). Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P). Điểm A’ có tọa độ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\mathrm{d}}_1:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=0\\ \mathrm{z}=-5+\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ${\mathrm{d}}_2:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{y}=4-2\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=5+3\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$.

Phương trình đường vuông góc chung của ${\mathrm{d}}_1$ và ${\mathrm{d}}_2$ là:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}+1}{2}=\frac{\mathrm{y}-1}{1}=\frac{\mathrm{z}}{-2}$ và điểm $\mathrm{A}\left(3;1;-1\right)$. Gọi $\left(\mathrm{\alpha }\right)$ là mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng d. Điểm nào sau đây thuộc $\left(\mathrm{\alpha }\right)$?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-2}{3}=\frac{\mathrm{y}}{2}=\mathrm{z}-1$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(\mathrm{Q}\right):2\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}-3=0$. Biết (P) có phương trình dạng $\mathrm{ax}-\mathrm{y}+\mathrm{cz}+\mathrm{d}=0$. Hãy tính tổng a + c + d

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; -2; 4); B(-3; 3; -1) và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 8 = 0. Xét điểm M là điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ nhất của $2{\mathrm{MA}}^2+3{\mathrm{MB}}^2$ bằng:

Tìm m để khoảng cách từ điểm $\mathrm{A}\left(\frac{1}{2};1;4\right)$ đến đường thẳng $\left(\mathrm{d}\right):\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1-2\mathrm{m}+\mathrm{mt}\\ \mathrm{y}=-2+2\mathrm{m}+\left(1-\mathrm{m}\right)\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1+\mathrm{t}\end{array}\right.$ đạt giá trị lớn nhất.