Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x^2-6x+2m}}$ có hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của S là:

Ta có:  $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-1}{x^2+2mx-m+2}=0$

Do đó, đồ thị hàm số đã cho luôn nhận đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang với mọi giá trị của m.

Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có đúng 1 đường tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình $x^2+2mx-m+2=0$ hoặc có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 1 (1)

Phương trình $x^2+2mx-m+2=0$ có  $\Delta \text{'}=m^2-\left(-m+2\right)=m^2+m-2$

$\left(1\right)\iff \left[\begin{array}{c}\Delta \text{'}=0\\ \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ 1^2+2m.1-m+2=0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}{m}^2+m-2\\ \left\{\begin{array}{c}{m}^2+m-2>0\\ 3+m=0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}m=1\\ m=-2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}m>1\\ m<-2\\ m=-3\end{array}\iff \right.\end{array}\iff \left[\begin{array}{c}m=1\\ m=-2\\ m=-3\end{array}\right.\right.$

Do đó, tập các giá trị của tham số m thỏa mãn là:  $S=\left\{1;-2;-3\right\}$

Vậy tổng tất cả các phần tử của tập hợp S bằng : 1 – 2 – 3 = - 4

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:$y=\frac{x-3}{x^3-3m{x}^2+\left(2m^2+1\right)x-m}$

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-3}{x^3-3m{x}^2+\left(2m^2+1\right)x-m}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{x}{x^3}-\frac{3}{x^3}}{1-3m\frac{x^2}{x^3}+\left(2m^2+1\right)\frac{x}{x^3}-\frac{m}{x^3}}=0$

Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 3 đường tiệm cận đứng.

Hay phương trình  $x^3-3m{x}^2+\left(2m^2+1\right)x-m=0$ (1) có ba nghiệm phân biệt  $x\ne 3$

Ta có:$x^3-3m{x}^2+\left(2m^2+1\right)x-m=0$

$\iff \left(x-m\right)\left(x^2-2mx+1\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=m\\ x^2-2mx+1=0(*)\end{array}\right.$

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khác 3 thì $m\ne 3$ và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác m và khác 3.

Do đó:  $\left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}=m^2-1>0\\ 3^2-2.m.3+1\ne 0\\ m^2-2m^2+1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}m<-1\\ m>1\end{array}\right.\\ m\ne \frac{5}{3}\\ m\ne -1\\ m\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}m<-1\\ m>1\end{array}\right.\\ m\ne \frac{5}{3}\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện  $\left\{\begin{array}{c}m\ne 3\\ -6\le m\le 6\end{array}\right.\Rightarrow m\in \left\{-6;-5;-4;-3;-2;2;4;5;6\right\}$

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn điều kiện

Đáp án cần chọn là: B