Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ thỏa mãn $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-1$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=m$. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f\left(x\right)+2}$ có duy nhất một tiệm cận ngang.

ĐKXĐ:  $\left\{\begin{array}{c}x+2\ge 0\\ x^2-6x+2m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -2\\ x^2-6x+2m>0\end{array}\right.$

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình $x^2-6x+2m=0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn  $x_1>x_2>-2$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ x_1+x_2>-4\\ \left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}9-2m>0\\ 6>-4\left(tm\right)\\ x_1.x_2+2\left(x_1+x_2\right)+4>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}m<\frac{9}{2}\\ 2m+2.6+4>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m<\frac{9}{2}\\ 2m>-16\end{array}\right.$

$\iff -8<m<\frac{9}{2}$

$\Rightarrow S=\left\{-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\right\}$

Vậy tập hợp S có 12 phần tử.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:  $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-1}{x^2+2mx-m+2}=0$

Do đó, đồ thị hàm số đã cho luôn nhận đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang với mọi giá trị của m.

Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có đúng 1 đường tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình $x^2+2mx-m+2=0$ hoặc có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 1 (1)

Phương trình $x^2+2mx-m+2=0$ có  $\Delta \text{'}=m^2-\left(-m+2\right)=m^2+m-2$

$\left(1\right)\iff \left[\begin{array}{c}\Delta \text{'}=0\\ \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ 1^2+2m.1-m+2=0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}{m}^2+m-2\\ \left\{\begin{array}{c}{m}^2+m-2>0\\ 3+m=0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}m=1\\ m=-2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}m>1\\ m<-2\\ m=-3\end{array}\iff \right.\end{array}\iff \left[\begin{array}{c}m=1\\ m=-2\\ m=-3\end{array}\right.\right.$

Do đó, tập các giá trị của tham số m thỏa mãn là:  $S=\left\{1;-2;-3\right\}$

Vậy tổng tất cả các phần tử của tập hợp S bằng : 1 – 2 – 3 = - 4

Đáp án cần chọn là: A